Question

¿Como calcular la pendiente de 3(x^2+y^2)^2=100xy en el punto (3,1)?

Answer 1

Supongo que pides la pendiente de la tangente a la curva en el punto (3,1)

(1) derivemos de forma implícita haciendo $y = y(x)$

$\dfrac{d}{dx}[3(x^2+y^2)^2]=\dfrac{d}{dx}(100xy)\\ \\ \\ 3\cdot\dfrac{d}{dx}[(x^2+y^2)^2]=100\cdot\dfrac{d}{dx}(xy)\\ \\ \\ 6(x^2+y^2)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2+y^2)=100\cdot \left(\dfrac{dx}{dx}\cdot y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\right)\\ \\ \\ 3(x^2+y^2)\cdot\left(\dfrac{d(x^2)}{dx}+\dfrac{d(y^2)}{dx}\right)=50\cdot \left(y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\right)$

$3(x^2+y^2)\cdot\left(2x+2y\cdot\dfrac{dy}{dx}\right)=50\cdot \left(y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\right)\\ \\ \\ 3(x^2+y^2)\cdot\left(x+y\cdot\dfrac{dy}{dx}\right)=25\cdot \left(y+x\cdot \dfrac{dy}{dx}\right)$


(2) Hallemos la pendiente de la tangente en el punto (3,1)

$3(3^2+1^2)\cdot\left(3+1\cdot\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(3,1)}\right)=25\cdot \left(1+3\cdot \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(x,y)=(3,1)}\right)\\ \\ \\ 30(3+m)=25(1+3m)\\ \\ \\ \boxed{m= \dfrac{13}{9}}$