Question

COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS EN UNA DIMENSIÓN Y DOS DIMENSIONES

Answer 1

e denomina parámetro de impacto b a la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco u1 y el centro del segundo disco que suponemos inicialmente en reposo.

b=(r1+r2)·sinθ2

Las velocidades de los discos antes del choque respecto del sistema de ejes X e Y

→u1=u1cosθˆi+u1sinθˆj→u2=0u→1=u1cosθi^+u1sinθj^u→2=0

Las velocidades de discos después del choque respecto del sistema de ejes X e Y

→v1=v1cos(θ1+θ2)ˆi+v1sin(θ1+θ2)ˆj→v2=v2ˆiv→1=v1cos(θ1+θ2)i^+v1sin(θ1+θ2)j^v→2=v2i^

El principio de conservación del momento lineal se escribe

m1→u1+m2→u2=m1→v1+m2→v2m1u→1+m2u→2=m1v→1+m2v→2

o bien,

m1u1cosθ2=m2v2+m1v1cos(θ2+θ1)m1u1sinθ2=m1v1sin(θ2+θ1)m1u1cos⁡θ2=m2v2+m1v1cos⁡(θ2+θ1)m1u1sin⁡θ2=m1v1sin⁡(θ2+θ1)

El coeficiente de restitución nos mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje X y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo eje.

e=v2−v1cos(θ2+θ1)u1cosθ2e=v2−v1cos⁡(θ2+θ1)u1cos⁡θ2

Dado el parámetro de impacto b obtenemos el ángulo θ2. De la segunda y tercera ecuación, podemos despejar el ángulo entre las direcciones de las velocidades de los discos después del choque

tan(θ2+θ1)=m1+m2m1−em2tanθ2v1=u1sinθ2sin(θ2+θ1)v2=m1u1(1+e)cosθ2m1+m2tan⁡(θ2+θ1)=m1+m2m1−em2tan⁡θ2v1=u1sin⁡θ2sin⁡(θ2+θ1)  v2=m1u1(1+e)cos⁡θ2m1+m2

Choque elástico

Cuando los discos tienen la misma masa  m1=m2, y el choque es elástico e=1. El ángulo que forman las direcciones de las velocidades después del choque es θ1+θ2=90º, y sus módulos son, respectivamente

v1=u1sinθ2v2=u1cosθ2b=(r1+r2)sinθ2φ=90−θ2