Question

Colgamos una masa puntual de 5kg de un resorte elástico cuya constante elástica tiene un valor k – 500 N/m. Una vez el conjunto está en equilibrio, desplazamos la masa 10 cm y la dejamos oscilar libremente. Determine:

a) la ecuación del MAS que describe el movimiento de la masa puntual


b) las posiciones de la masa en la que su aceleración es nula.


c). haz un análisis cuantitativo de los cambios que experimenta la energía del oscilador.

Answer 1

Cuando la masa es soltada, esta queda realizando un movimiento oscilatorio armónico, del que tenemos estos parámetros:

a) La ecuación del movimiento oscilatorio es $x(t)=0,1m.cos(10s^{-1}t)$.

b) La aceleración es nula en la posición de equilibrio.

c) La energía cinética y la energía elástica varían cuadráticamente, sus valores máximos son de 2,5J, en los extremos en el caso de la energía elástica y en la posición de equilibrio en el caso de la energía cinética.

Explicación:

a) Para hallar la ecuación temporal del movimiento oscilatorio armónico, tenemos que plantear el equilibrio entre la fuerza elástica y el peso del cuerpo.

$-kx=ma\\\\a=\frac{d^2x}{dt}=\ddot{x}\\\\-kx=m\ddot{x}\\\\\ddot{x}=-\frac{k}{m}x\\\\x=A.cos(wt)=>-\frac{k}{m}.A.cos(wt)=-w^2.A.cos(wt)\\\\w^2=\frac{k}{m}\\\\w=\sqrt{\frac{k}{m}}\\\\x=A.cos(\sqrt{\frac{k}{m}}x)$

Como al principio desplazamos la masa 10cm, esa será la amplitud:

$x=0,1m.cos(\sqrt{\frac{500\frac{N}{m}}{5kg}}t)\\\\x=0,1m.cos(10s^{-1}.t)$

b) La aceleración es la derivada segunda de la posición:

$a=\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2.A.cos(wt)=-w^2.x(t)=0\\\\a=0=>x(t)=0$

Concluimos que la aceleración es nula en la posición de equilibrio, lo cual tiene lógica, porque en ese punto la sumatoria de fuerzas es cero.

c) La energía potencial elástica depende de la posición x respecto de la posición de equilibrio:

$E_e=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}k.A^2.cos^2(wt)$

Siendo nula en la posición de equilibrio y aumentando cuadráticamente conforme aumenta la distancia de dicho punto hasta ser máxima en el extremo de la trayectoria.

Mientras que la energía cinética depende de la velocidad:

$E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m.w^2.A^2.sen^2(wt)\\\\w^2=\frac{k}{m}=>E_c=\frac{1}{2}kA^2.sen^2(wt)$

La suma de las dos energías es siempre la energía del oscilador:

$E=E_e+E_c=\frac{1}{2}k.A^2.cos^2(wt)+\frac{1}{2}k.A^2.sen^2(wt)\\\\E=\frac{1}{2}k.A^2(cos^2(wt)+sen^2(wt))=\frac{1}{2}kA^2$

Y viendo las ecuaciones, la energía elástica es máxima en los extremos y la energía cinética es máxima en la posición de equilibrio, disminuyendo cuadráticamente conforme la masa se aleja de la posición de equilibrio, porque:

$E_c=E-E_e=\frac{1}{2}kA^2-\frac{1}{2}kx^2$.

Y para las dos energías los valores máximos son la energía del sistema:

$E=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}.500\rac{N}{m}.(0,1m)^2\\\\E=2,5J$