Question

Clasificar cada una de las siguientes expresiones como ecuaciones o identidades.
a. 2(x + 5) − 3x = x + 10
b. 2 cos x − 1 = 0
c. 2 sin x = 1
d. x + 8 = 2x − 15
e. 2(x + 2y) = 2x + 4y

Answer 1

Respuesta:

Definiciones

Polinomio de grado n: La expresi´on de un polinomio de grado n de

una variable es

Pn(x) = anx

n + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0

con ai ∈ R, para i = 0, 1, 2, · · · , n.

Ejemplo 1.1 −x

4 + 2x

3 − 4 es un polinomio de grado 4.

Ecuaci´on: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las

que aparecen valores conocidos o datos y desconocidos o inc´ognitas

relacionados mediante operaciones matem´aticas.

Ejemplo 1.2 La expresi´on 2x = 10 es una ecuaci´on.

Soluci´on de una ecuaci´on: Conjunto de valores num´ericos de las

inc´ognitas para el que se verifica la igualdad.

Una ecuaci´on puede no tener soluci´on, tener soluci´on ´unica o m´as de

una soluci´on.

Ejemplo 1.3 x = 5 es la ´unica soluci´on de la ecuaci´on 2x = 10.

Ra´ız de un polinomio: es cada una de las soluciones de la ecuaci´on,

llamada ecuaci´on polin´omica, Pn(x) = 0.

Factorizaci´on de un polinomio: Consiste en expresar un polinomio

como producto de polinomios de menor grado.

Ejemplo 1.4 El polinomio p(x) = −2x

2+8x−6 de grado 2 se factoriza

como producto de polinomios de grado 1 de la forma siguiente:

−2x

2 + 8x − 6 = 2(x − 1)(3 − x)

Sistema de m ecuaciones con n inc´ognitas: Se trata de un conjunto

de m ecuaciones con n inc´ognitas.

Ejemplo 1.5 Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 inc´ognitas:

3x + 5y

2 − 3z

2 = 8

ln x + 2y + z = 2

3Soluci´on

En este caso α = −1 y los coeficientes del polinomio dividendo son

a3 = 3, a2 = 0, a1 = −1 y a0 = 2. Se procede seg´un se ha descrito

anteriormente:

3 0 −1 2

−1

3

3 0 −1 2

−1 −3

3 −3

3 0 −1 2

−1 −3 3

3 −3 2

3 0 −1 2

−1 −3 3 −2

3 −3 2 0

Luego, la divisi´on tiene resto cero y el cociente es el polinomio de grado

2 cuyos coeficientes son 3, −3 y 2, es decir, 3x

2 − 3x + 2.

Al ser el resto cero, se dice que el polinomio 3x

3 − x + 2 es divisible

entre x + 1, y se puede escribir

3x

3 − x + 2 = (x + 1)(3x

2 − 3x + 2)

Como el polinomio vale 0, cuando x = −1, una ra´ız de este polinomio

es x = −1.

2.2. Ecuaciones lineales

La soluci´on de una ecuaci´on lineal con una inc´ognita que adopta la

forma reducida ax + b = 0, donde x denota la inc´ognita y a 6= 0, es

x =

−b

a

Si una ecuaci´on lineal con una inc´ognita no adopta la forma reducida

ax + b = 0, se procede a agrupar por una parte los t´erminos donde

aparece la inc´ognita x y por otra los t´erminos que no la tienen, pasando

de la ecuaci´on dada a otra equivalente en forma reducida.

Si al realizar este proceso se obtiene b = 0 con b un n´umero real distinto

de 0, la ecuaci´on no tiene soluci´on. Si se obtiene c = c con c cualquier

n´umero real, entonces la ecuaci´on es una identidad.

Ejemplo 2.2 A continuaci´on se resuelven algunas ecuaciones lineales

sencillas