Matemáticas, pregunta formulada por jjkvloggs, hace 1 mes

Centro en c(6, -4) y pasa por el punto P(4,-5)
determinar la ecuación de la circunferencia

Respuestas a la pregunta

Contestado por FenixAzul05

Hola,

$\sf \red{\underline{\green{\sf Ecuaci\acute{o}n \: de \: una \: circunferencia}}}$

$\\$

Respuesta:

$\red{\boxed{\boxed{\green{\sf x^{2} + y^{2} - 12x + 8y + 47 = 0}}}}$

$\\$

Explicación:

La ecuación de una circunferencia es la siguiente:

$\sf (x - \blue{h})^{2} + (y - \orange{k})^{2} = \pink{r}^{2} \\ \\ \sf Donde: \\ \sf \bullet \: (\blue{h} \: , \: \orange{k}) \: es \: el \: centro \: de \: la \: circunferencia. \\ \bullet \: \sf \pink{r} \: es \: el \: radio. \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\\$

$\sf \boxed{ \sf Datos:} \\ \\ \diamond \sf Coordenadas \: del \: centro: \: C(\underbrace{6}_{\blue{h}} \: , \: \underbrace{-3}_{\orange{k}})$

$\\ \sf Substituimos \: esos \: valores \: en \: nuestra \: f\acute{o}rmula: \\ \implies\sf (x - \blue{6})^{2} + (y - \orange{( - 4)})^{2} = \pink{r}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \implies \sf (x - \blue{6})^{2} + (y + 4 )^{2} = \pink{r}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \implies \underbrace{ x ^{2} - 2 \times x \times \blue{6} + \blue{6} ^{2} }_{producto \: notable \: 1} \: + \underbrace{ {y}^{2} + 2 \times y \times 4 + {4}^{2} }_{producto \: notable \: 2} = { \pink{r}}^{2} \\ \\ \sf \implies {x}^{2} - 12x + 36 + {y}^{2} + 8y + 16 = \pink{r} ^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \implies \sf {x}^{2} + {y}^{2} - 12x + 8y + 52 = \pink{r}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \\ \sf \underline{Productos \: notables: } \\ \\ \boxed{1} \sf ( \green{a} - \red{b}) ^{2} = { \green{a}}^{2} - 2 \green{a} \red{b} + { \red{b}}^{2} \\ \\ \boxed{2} \sf( \green{a} + \red{b})^{2} = { \green{a}}^{2} + 2 \green{a} \red{b} + { \red{b}}^{2}$

$\\$

El radio corresponde a la distancia entre el centro y un punto por el que pasa la circunferencia.

$\sf \implies \pink{r} = \sqrt{{(x_P - \blue{x_C})}^2 + {(y_P - \orange{y_C})}^{2}} \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf Datos:} \\ \\ \diamond \sf Coordenadas \: del \: punto \: P: \: P(\underbrace{4}_{x_P} \: , \: \underbrace{-5}_{y_P}) \\ \\ \implies \sf \pink{r} = \sqrt{{(4 - \blue{6} )}^{2} + {(-5 - \orange{(-4)})}^2} \: \: \: \\ \\ \implies \sf \pink{r} = \sqrt{{(-2)}^{2} + {(1)}^{2} } = \sqrt{4 + 1} \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \sf \pink{r}= \sqrt{5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\\$

$\sf Substituimos \: el \: valor \: del \: radio \: en \: la \: f\acute{o}rmula: \\ \\ \sf \implies x^{2} + y^{2} - 12x + 8y + 52 = \pink{(\sqrt{5})}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \implies x^{2} + y^{2} - 12x + 8y + 52 = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \implies x^{2} + y^{2} - 12x + 8y + 52 - 5 = 5 - 5 \\ \\ \sf \implies \red{\boxed{\boxed{\green{\sf x^{2} + y^{2} - 12x + 8y + 47 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }}}}$