Question

Celcilia escribio en la pizarra 5 numeros naturales consecutivos y Beatriz escribio 7 numeros naturales consecutivos de tal forma que los 12 numeros son diferentes. Ñasuma de los numeros de Cecila es igual a S y la suma de los numeros de Beatriz tambien es S. determine el valor posible de S
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Answer 1

Respuesta:

El menor valor posible de S es 105

Explicación paso a paso:

Cecilia escribio: x, x+1, x+2, x+3 y x+4.

La suma de eso es 5x + 10

Beatriz escribió: y, y+1, y+2, y+3, y+4, y+5, y+6

Las suma de eso es 7y + 21

Las dos sumas son iguales: 5x + 10 = 7y + 21

5x = 7y + 11

Hay infinitos pares x,y que cumplen con esa ecuación. Vamos a determinar cuáles son pares de números enteros.

Para ello se busca parametrizar la ecuación en funcion de un k que será entero.

Despejamos x: x = [7y +11]/5

Como x es entero la parte derecha tambien lo sera

[7y + 11]/5 = entero

separamos el numerador en dos grupos uno de los cuales sea multiplo del denominador:

[5y + 2y + 10 + 1]/5 = [5y + 10]/5 + [2y + 1]/5 = y + 2 + [2y + 1]/5

como el miembro izquierdo y (y+2) son enteros, lo que queda tambien sera entero

[2y +1]/5 = entero

Multiplicamos el numerador por 3 (para que luego el residuo de dividir entre 5 sea 1)

[6y + 3]/5 = entero [porque es el resultado de multiplicar un entero por 3]

[5y + y + 3]/ 5 = 5y/ 5 +[y+3]/5 = y + [y+3]/5

Como el miembreo izquierdo y y son enteros, el resto tambien sera entero

llamemos k a ese entero

[y+3]/5 = k

y = 5k - 3 [es nuestra primera ecuacion de y parametrizada]

Ahora sustituimos ese valor de y en nuestra ecuacion inicial de x despejada.

x = [7y + 11]/5 = [7(5k -3) + 11]/5 = [35k - 21 +11]/5 = 7k-2

Esa es la ecuacion de x parametrizada

Pongamos juntas las dos ecuaciones parametrizadas:

y = 5k - 3

x = 7k-2

Dando valores enteros a K hallamos los valores enteros de x y y

k = 1, y = 2, x =5

Esos son los menores valores posibles para x, y; pero resultan en numeros repetidos en la pizarra.

Para k = 2

y = 5(2) - 3 = 7

x = 7(2) - 2 = 12

k = 3

y = 5(3) - 3 = 15 - 3 = 12

x = 7(3) - 2 = 21 - 2 =19

De esa forma, Beatriz escribiio 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18

Cecilia escribio: 19, 20, 21, 22 y 23.

Verifiquemos la suma de cada grupo de numeros>

12+13+14+15+16+17+18 = 105

19+20+21+22+23= 105