Question

Carlos y Juan observan un globo en el aire con ángulos de 70˚ y 80˚. Si el globo se encuentra entre los dos y ellos están alejados 10 m. ¿Qué distancia hay entre Carlos y el globo? ¿A qué altura del piso se encuentra el globo?

Answer 1

La distancia entre Carlos y el globo es de 19.7 metros

El globo se encuentra a una altura de 18.51 metros

Solución

Se representa la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre las dos personas que observan el globo. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias desde Carlos y Juan. hasta el vértice C donde se encuentra el globo

Se pide hallar:

a) Cuál es la distancia entre Carlos y el globo

b) A que altura se encuentra el globo

a) Distancia entre Carlos y el globo

Podemos determinar la distancia desde donde se ubica Carlos hasta el vértice C donde se encuentra el globo, dado que conocemos la longitud de separación entre las dos personas y los ángulos que esta medida forma en cada extremo donde se hallan Carlos y Juan con respecto a sus respectivas distancias hasta donde se encuentra el globo

Teniendo para Carlos ubicado a la izquierda un ángulo de 70°, y para Juan que se ubica a la derecha un ángulo de 80°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Emplearemos la ley del seno para hallar la distancia entre Carlos y el globo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 70^o+ 80^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 70^o- 80^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 30^o }}$

Hallamos la distancia entre Carlos y el globo -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(80 ^o ) } = \frac{ 10 \ m }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 10\ m \ . \ sen(80 ^o ) }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 10\ m \ . \ 0.984807753012}{ 0.5} }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 9.84807753012 }{ 0.5 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 19.7 \ metros }}$

b) Altura a la que se encuentra el globo

Dado que la altura a la que se encuentra el globo secciona al triángulo acutángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 70° y de 80° respectivamente

Por tanto como hemos determinado empleando la ley del seno la distancia desde Carlos hasta el vértice C - donde se encuentra el globo-  hallamos la hipotenusa del triángulo rectángulo ADC

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto calculamos la altura a la que se encuentra el globo empleando la razón trigonométrica seno

Por tanto conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura a la que se encuentra el globo

$\boxed { \bold { sen(70^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(70^o) = \frac{altura \ globo }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= distancia \ b \ . \ sen(70^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo = 19.7\ m \ . \ sen(70^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= 19.7\ m \ . \ 0.939692620786 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ globo= 18.51\ metros }}$

Aunque el enunciado no lo pida hallamos la distancia entre Juan y el globo

Hallamos la distancia entre Juan y el globo -lado AB (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(70 ^o ) } = \frac{ 10 \ m }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 10\ m \ . \ sen(70 ^o ) }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 10\ m \ . \ 0.939692620786 }{ 0.5} }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 9.39692620786 }{ 0.5 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 18.79 \ metros }}$

Ahora que hallamos la distancia desde Juan hasta donde se encuentra el globo hallamos la hipotenusa del triángulo rectángulo BDC

Repetimos el procedimiento para determinar la altura a la que se encuentra el globo empleando la razón trigonométrica seno

Como el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Se arribará al mismo resultado y nos es útil a modo de verificación

$\boxed { \bold { sen(80^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(80^o) = \frac{altura \ globo }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= distancia \ a \ . \ sen(80^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo = 18.79\ m \ . \ sen(80^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ globo= 18.79\ m \ . \ 0.984807753012 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ globo= 18.51\ metros }}$