Question

Carlos es un jugador de ajedrez que participo en las olimpiadas de su distrito.El recibió un punto por el primer contrincante que vencio, 2 por el segundo, 4 por el tercero y así sucesivamente. Si en el recuento acumulo un total de 65535 puntos,¿a cuantos competidores venció?

Answer 1

PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS  (PG).  Problemas

Así se resuelve este problema, con una progresión geométrica que supongo que estarás estudiando y que se caracteriza por ser una sucesión de números, llamados "términos" de la progresión que aumentan o disminuyen su valor según otro número llamado razón "r" que lo va multiplicando o dividiendo.

En este ejercicio, la razón es 2 ya que al analizar el texto se aprecia que cada nuevo contrincante que vence le dan el doble de puntos que en el anterior, es decir, duplican los puntos respecto a los puntos otorgados en la anterior partida.

El total de puntos acumulados es la suma de los valores de todos los términos de esa progresión, es decir, si del primero le dan 1 punto, del segundo le dan 2 puntos, del tercero le dan 4 puntos, del cuarto le dan 8 puntos... se van sumando esas cantidades y tendríamos:

1+2+4+8 ... y así sucesivamente hasta llegar a la suma total de 65535

Identifico los datos del texto y los paso a datos de la progresión:

• 1º término de la PG ... a₁ = 1
• Razón de la PG ... r = 2
• Suma de términos ... Sₙ = 65535

Con esos datos se acude a la fórmula que nos facilita sumar todos los valores de los términos de cualquier progresión que dice:

$S_n=a_1*\dfrac{r^n\ -1}{r-1}$

Sustituyo los valores conocidos y me quedará por saber el valor de "n" que representa justamente lo que nos pide calcular el ejercicio, es decir, el número de competidores que venció.

$65535=1*\dfrac{2^n\ -1}{2-1}\\\\65535=2^n\ -1\\\\65536=2^n\\ \\ n=\boxed{16\ competidores}$

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

16

Explicación paso a paso:

Aplicas suma de términos:

Sn= (an x R - 1)/( R - 1)

65535=(an x 2 - 1 )/(2 - 1)

65535=(an x 2 - 1 )/(1)

65535=an x 2 - 1

65535+1 =an x 2

65536 =an x 2

65536/2 =an

32768 =an

Luego de que halles el último término, hallas en que lugar se encuentra ese término.

an=a1 x r ^(n-1)

32768=1 x 2 ^(n-1)

32768=2 ^(n-1)

n=16