Question

calculo: suseciones monotonas. criterio de la derivada. Necesito este ejercicio paso a paso detalle a detalle

Answer 1

Tienes,

$\frac{ \sqrt{x} ( \frac{1}{x} )-ln(x)( \frac{1}{2 \sqrt{x} } ) }{x}$

Podemos racionalizar justo lo que está señalado por tu flecha roja, entonces nos queda así,

$\frac{ \sqrt{x} ( \frac{1}{x} )-ln(x)( \frac{1}{2 \sqrt{x}} )( \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } ) }{x}=\frac{ \sqrt{x} ( \frac{1}{x} )-ln(x)( \frac{ \sqrt{x} }{2 x} ) }{ x } }=\frac{ ( \frac{\sqrt{x}}{x} )-ln(x)( \frac{ \sqrt{x} }{2 x} ) }{ x } }$

ahora, podemos sacar factor común

$\frac{ ( \frac{\sqrt{x}}{x} )-ln(x)( \frac{ \sqrt{x} }{2 x} ) }{ x } }= \frac{( \frac{ \sqrt{x} }{x} )(1- \frac{ln(x)}{2} )}{x} = \frac{( \frac{ \sqrt{x} }{x} )( \frac{2-ln(x)}{2} )}{x}$

hacemos medios con medios, extremos con extremos,

$\frac{( \frac{ \sqrt{x} }{x} )( \frac{2-ln(x)}{2} )}{x}= \frac{ \sqrt{x} (2-ln(x))}{2 x^{2} } = \frac{2 \sqrt{x} - \sqrt{x} ln(x)}{2 x^{2} }$

y eso sería la justificación,