Question

Calculo:(AYUDA POR FAVOR)
Supongamos que una gota de lluvia se evapora de tal manera que mantiene una forma esférica. Dado que el volumen de una esfera de radio r es V=4/3πr^3 y su área superficial es A=4π^2, si el radio cambia con el tiempo, demuestra que V′=AR′ , si la razón de evaporación (V’) es proporcional al área de la superficie, demuestre que el radio cambia con una rapidez constante.

Answer 1

Explicación paso a paso: Vamos a hacer uso de la derivada. Si sabemos que

$V= \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$A=4\pi r^{2}$

Nos piden demostrar que

$V'=Ar'$

Al fin y al cabo, el signo (') lo utilizamos para expresar la derivada de una función, por lo tanto, nos están pidiendo demostrar que la derivada del volumen es igual a el área por la derivada del radio.

Es importante saber con respecto a qué variable derivar. Vamos a derivar con respecto a $r$, ya que es el cambio del radio lo que provoca el cambio tanto en el área esférica como en el volumen de la esfera.

De esta forma, nos piden que demostremos que

$\frac{dV}{dr} =A\cdot \frac{dr}{dr}$

Derivamos con respecto a $r$

$\frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^{3} )=A\cdot \frac{dr}{dr}$

Aplicamos la regla de la potencia para derivar el volumen

$\frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^{3} )=\frac{4}{3} \pi\cdot 3r^{3-1} =4\pi r^{2}$

Derivamos $r$ con respecto a sí misma, que no es más que 1.

$\frac{d}{dr} r=1$

Por lo tanto, como $A= 4\pi r^{2}$, sustituimos en la fórmula

$4\pi r^{2} =4\pi r^{2}\cdot 1\\\\\boxed{4\pi r^{2} =4\pi r^{2}}\\\\\textbf{c.q.d}$