Question

Calculen la cantidad de lona que necesitará para fabricar 36 sombrillas, si sabemos que cada lado mide 173 cm y su apotema mide 266.2 cm.
c) Si se duplica, triplica la medida de los lados de un polígono regular:
-¿Qué sucede con el perímetro?
-¿qué sucede con la apotema?
-¿Qué sucede con el área?

Answer 1

La cantidad de lona que se necesitará para fabricar 36 sombrillas es de 8289468 cm², y expresada en metros cuadrados equivale a 828,95 m²  

Si se duplica o triplica la medida de los lados de un polígono regular  el perímetro, apotema y área aumentarán.  

Si se disminuyen las medidas de sus lados a la mitad exacta también lo hacen a la mitad el perímetro, el apotema y el área.

El enunciado completo dice lo siguiente:

Una empresa fábrica sombrillas para playa. Para ello usan tela cortada en forma de polígono regular de 10 lados. Calculen la cantidad de lona que necesitará para fabricar 36 sombrillas, si sabemos que cada lado mide 173 cm y su apotema mide 266.2 cm. Si se duplica, triplica o se reduce a la mitad la medida de los lados de un polígono regular: ¿Qué sucede con el perímetro?  ¿Qué sucede con el apotema? ¿Qué sucede con el área?

Procedimiento:

Debemos calcular el área de un polígono regular llamado decágono. Este se caracteriza por tener diez lados y diez vértices. En un decágono regular sus diez ángulos internos tienen el mismo valor que es de 144°.

Sabemos que  

• Se fabricarán 10 sombrillas decagonales
• El lado de decágono mide 173 cm
• El apotema del decágono mide 266, 2 cm  

El área de un decágono regular es

$\boxed{ \bold {Area\ _{decagono} = \frac{Perimetro\ .\ Apotema}{2} }}$

El perímetro es la suma de todos los lados que tiene una figura geométrica. En el caso del decágono tenemos 10 lados

$\boxed{ \bold {Perimetro\ _{decagono} = {Lado\ .\ 10}{} }}$

$\boxed{ \bold {Perimetro\ _{decagono} = {173\ cm\ .\ 10}{} }}$

$\boxed{ \bold {Perimetro\ _{decagono} = {1730\ cm\ \ }{} }}$

Sabiendo ya el perímetro podemos hallar el área de una sombrilla

$\boxed{ \bold {Area\ _{decagono} = \frac{Perimetro\ .\ Apotema}{2} }}$

$\boxed{ \bold {Area\ _{decagono} = \frac{1730\ cm\ .\ 266,2\ cm}{2} }}$

$\boxed{ \bold {Area\ _{decagono} = \frac{460526\ cm^{2} \ \\ }{2} }}$

$\boxed{ \bold {Area\ _{decagono} = {230263\ cm^{2} \ \\ }{} }}$

Entonces calculamos el área para 36 sombrillas. A la que llamaremos área total.

Esta resulta de multiplicar el área hallada de una sombrilla por 36, que es la cantidad que se fabricarán.  

$\boxed{ \bold {Area\ _{total} = {230263\ cm^{2} \ . \ 36\ }{} }}$

$\boxed{ \bold {Area\ _{total} = {8289468\ cm^{2} \ \ \ }{} }}$

Podemos convertir esta cantidad a metros cuadrados

$\boxed{ \bold {8289468\ cm^{2} \ .\frac{1\ m^{2} }{100\ cm^{2} } = 828,95 \ m^{2} \ }{} }}$

La cantidad de lona que se necesitará para fabricar 36 sombrillas es de 8289468 cm², y expresada en metros cuadrados equivale a 828,95 m²

Veamos que sucede si se duplica, triplica o se reduce a la mitad la medida de los lados de un polígono regular:

Si se duplica o triplica la medida de los lados de un polígono regular  el perímetro, apotema y área serán mayores y serán polígonos semejantes.

• Perímetro: Aumentará dos o tres veces respectivamente  

• Apotema: También aumentará dos o tres veces respectivamente
• Área: Si se duplica aumentará cuatro veces (2²). Triplicada aumentará nueve veces (3²)    

Si se disminuyen las medidas de sus lados a la mitad exacta también lo hacen a la mitad el perímetro, el apotema y el área. También será un polígono semejante.      

• Perímetro:  Este disminuirá dos veces

• Apotema: También disminuirá dos o tres veces respectivamente

• Área: Disminuida a la mitad se reducirá cuatro veces (2²).          

Nota: A modo de ejemplo se agrega un gráfico habiendo tomado un polígono regular como referente -se trata de un pentágono- para poder observar y comprender que sucede cuando se duplican, triplican o se disminuyen sus lados.