Question

Calcule la suma de las
medidas de los ángulos
internos de un polígono cuyo
número total de diagonales es
el triple dei numero de lados.
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Answer 1

Tarea:

Calcule la suma de las  medidas de los ángulos  internos de un polígono cuyo  número total de diagonales es  el triple del número de lados.

Respuesta:

1.260º es la solución

Explicación paso a paso:

Para saber la suma de esos ángulos lo primero a calcular es el número de lados que tiene y eso se conoce a partir de la fórmula que relaciona lados y diagonales.  Siendo  D = num. de diagonales y   n = núm. de lados, dice:

$D=\dfrac{n*(n-3)}{2}$

En este ejercicio fíjate que nos da el número de diagonales en función del número de lados ya que nos dice que son el triple por tanto podemos representar esto:

• Número de lados = n
• Número de diagonales = 3n

Y sustituyo en esa fórmula.

$3n=\dfrac{n*(n-3)}{2}\\ \\ 6n=n^2-3n\\ \\ n^2-9n=0$

Y llego a esta ecuación cuadrática incompleta puesto que no tiene término independiente y se resuelve extrayendo factor común de la incógnita que en este caso es "n" y que nos dará dos soluciones donde una de ellas siempre será cero y la otra será el resultado de operar la expresión que nos quede dentro del paréntesis:

$n^2-9n=0\\ \\ n*(n-9)=0\\ \\ n_1=0\ ...\ soluci\'on\ que\ no\ se\ tiene\ en\ cuenta\\ \\ \\n-9=0\\ \\ n=9\ lados=ene\'agono$

Conocido el número de lados hay que calcular el valor de un ángulo interno y multiplicarlo por los 9 ángulos del polígono.

Siempre se cumple que el ángulo interno de cualquier polígono es suplementario del ángulo central, es decir que entre los dos suman 180º, así que considerando que el eneágono fuera regular divido el ángulo total de la circunferencia (360º) entre los 9 ángulos centrales resultando que cada ángulo central mide 40º.

El suplementario de 40º es...  180 - 40 = 140º mide un ángulo interno que multiplico por 9 para llegar a la respuesta al ejercicio.

140 × 9 = 1.260º es la solución.

Saludos.