Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos y grafique en el plano cartesiano: a) (8,12) y (11,7) b) (10.4) y (13,6)
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..... quisiera ayudarte pero nose
hola cómo estás y qué Dios te bendiga hoy y siempre
espero y te ayude y dame corona plis
. 1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representar en el plano en un sistemade coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema está constituido por dos rectasperpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la intersección de ellas se llama origen. En lafigura el eje horizontal es llamado eje x y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatropartes llamadas primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, denotados por I, II , III , IVrespectivamente. Como ya hemos dicho un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representarmediante un punto P en este plano. El número x0 se llama abscisa o coordenada x del punto y elnúmero y0 se conoce como la ordenada o coordenada y del punto. Para graficar se procede cómo sigue . Se localiza el número x0 en el eje (real) x y se traza una perpendicular al eje, igual se procedecon el número y0 en el eje y. La intersección de estas dos rectas es un punto en el plano xy y es larepresentación del par ( x0 , y0 ) . Recíprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano representaa un par de números reales ordenados.Ejemplo 1.- Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,-1); (2,-3) y (5,0).Solución:
2. 2DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A continuación vamos a mostrar cómo calcular la distancia entre dos puntos P ( x1 , y1 ) y 1P2 ( x2 , y2 ) . En la figura podemos ver como formamos un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusaes el valor a calcular. Observe que los catetos se pueden calcular al conocer las coordenadas de los dospuntos. Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos la fórmula de distancia entre dos puntos: d ( P1 , P2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2Ejemplo 1.- Representar gráficamente los puntos P1(-2,1)y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos puntos.Solución: Por la fórmula de distancia entre dospuntos tenemos d ( P1 , P2 ) = (3 − (−2)) 2 + (−4 − 1) 2 = (5) 2 + (−5) 2 = 25 + 25 =5 2Comentario.- Es claro, por el propio concepto de distancia, que la distancia de P1 a P2 es la mismaque de P 2 a P 1 . Analíticamente podemos verificar que d (P1 , P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y 2 )2 = d (P2 , P1 )PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA En esta sección se quiere mostrar la fórmula para las coordenadas PM(xM,yM) del punto mediodel segmento que une los puntos P ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) . 1 PM está en la mitad entre P1 y P2. Del dibujo podemos apreciar que xM, también está en la mitad entre x1 y x2 . Este resultado lo podemos deducir a través de la semejanza entre los triángulos P1AP2 y PMBP2.
3. 3 ( x 2 − x1 ) La distancia entre xM y x1 es . Así 2 ( x 2 − x1 ) xM está unidades más allá de x1 . 2 ( x − x1 ) Esto es x M = x1 + 2 . 2 Realizando la suma y simplificando queda: x + x2 xM = 1 2Igualmente podemos verificar que y1 + y 2 yM = 2 Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas.En conclusión ⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞ (xM , yM ) = ⎜ 1 , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠Ejemplo 2.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a P1(2,1) y P2(-2,-3). d ( P1 , P2 )Compruebe que d ( P1 , PM ) = 2Solución: ⎛ 2 + (−2) 1 + (−3) ⎞ (xM , yM ) = ⎜ , ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ = (0,−1) d ( P1 , P2 ) = (−2 − 2) 2 + (−3 − 1) 2 = 4 2 d ( P1 , PM ) = (2 − 0)2 + (1 − (−1))2 = 8 = 2 2 Efectivamente d ( P1 , P2 ) 4 2 d ( P1 , PM ) = , pues 2 2 = . 2 2Ejercicio de desarrollo.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(3,1)y P2(0,-4). Compruebe que d ( P1 , PM ) = d ( P2 , PM )
4. 4EJERCICIOS1) Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,2); (2,-3) y (5,0).2) Representar gráficamente los puntos: P1(-2,1) y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dospuntos.3) Representar gráficamente los puntos P1(2,-1) y P2(0,4) y calcular la distancia entre estos dos puntos.4) Calcular el punto medio del segmento de recta que une P1(2,1) y P2(-6,-3). Compruebe que d ( P1 , P2 )d ( P1 , PM ) = 25) Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(2,1) y P2(6,3).Compruebe que d ( P1 , PM ) = d ( P2 , PM )6) Determine todos los puntos en el eje y que están a una distancia de 5 unidades del punto (3,4).7) Determine todos los puntos de la forma (x,2x) que están a una distancia de 4 unidades de (2,4).8) Si dos puntos son de la forma (3,y1) y (3,y2). Deduzca una fórmula para la distancia entre estospuntos en que no aparezcan radicales. Generalice.9) Localice la coordenada x de un punto P en el plano con coordenada y=-4 tal que este punto Pequidiste de los puntos (2,1) y (5,2).10) Dados los puntos A(2,-1) y B(-2,4). Determine los puntos del segmento AB que están a un cuartode distancia de algunos de los extremos de este segmento.11) Determine un punto situado en el eje x cuya distancia al punto
cuidate Bay te quiero