Question

Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación. f(x)=(5x^2+12x) / (5x^3-3x)

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

$f(x)=\frac{5x^2+12x}{5x^3-3x}$

Podemos aplicar directamente la derivada o podemos simplificar primero las expresiones si se puede y luego aplicar la derivada. Como las expresiones se pueden simplificar, vamos a hacer eso primero y luego aplicaremos la derivada.

En este caso, aplicaremos la derivada de un cociente, que se desarrolla de la siguiente manera:

$\left({\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x).g(x)-g'(x).f(x)}{[g(x)]^{2} } }$

$f(x)=\frac{x(5x+12)}{x(5x^2-3)}$   (factorizamos la "x" en ambas expresiones)

$f(x)=\frac{5x+12}{5x^2-3}$    (simplificamos la "x")

$f'(x)=\frac{(5x+12)'(5x^2-3)-(5x^2-3)'(5x+12)}{(5x^2-3)^{2} }$   (aplicamos la derivada del cociente)

$f'(x)=\frac{(5)(5x^2-3)-(5.2x)(5x+12)}{(5x^{2} )^{2}- 2(5x^{2} )(3)+(3)^{2} }$

$f'(x)=\frac{25x^2-15-(10x)(5x+12)}{25x^{4} - 30x^{2}+9 }$

$f'(x)=\frac{25x^2-15-50x^{2} -120x}{25x^{4} - 30x^{2}+9 }$

$f'(x)=\frac{-25x^2-120x-15}{25x^{4} - 30x^{2}+9 }$

Ahora el ejercicio sin simplificar, veremos que sale lo mismo:

$f(x)=\frac{5x^2+12x}{5x^3-3x}$

$f'(x)=\frac{(5x^{2} +12x)'(5x^3-3x)-(5x^3-3x)'(5x^{2} +12)}{(5x^3-3x)^{2} }$

$f'(x)=\frac{(5(2)x+12)(5x^3-3x)-(5(3)x^2-3)(5x^{2} +12)}{(5x^3)^2-2(5x^3)(3x)+ (3x)^2}$

$f'(x)=\frac{(10x+12)(5x^3-3x)-(15x^2-3)(5x^{2} +12)}{25x^6-30x^4+ 9x^2}$

$f'(x)=\frac{50x^4+60x^3-30x^2-36x-75x^4-180x^{3} +15x^2+36x}{25x^6-30x^4+ 9x^2}$  (reducimos términos semejantes)

$f'(x)=\frac{-25x^4-120x^3-15x^2}{25x^6-30x^4+ 9x^2}$  (factorizamos términos comunes)

$f'(x)=\frac{x^2(-25x^2-120x-15)}{x^2(25x^4-30x^2+ 9)}$  (eliminamos el término común)

$f'(x)=\frac{-25x^2-120x-15}{25x^4-30x^2+ 9}$