Question

Calcule el volumen en centímetros cúbicos de una esfera inscrita en un cono recto de revolución en el cual el radio de la base y la altura miden 3 cm y 4 cm respectivamente.

Answer 1

De acuerdo a las características de la esfera inscrita en un cono recto de revolución y conocidas las dimensiones del cono, tenemos que el volumen de la esfera es 14.1372 centímetros cúbicos.

¿Cómo podemos calcular el volumen de una esfera inscrita en un cono recto de revolución conocidas las dimensiones del cono?

Para calcular el volumen de una esfera inscrita en un cono recto de revolución conocidas las dimensiones del cono debemos calcular el radio de la esfera, tal como se muestra a continuación:

Si consideramos que r es el radio del cono, h la altura del cono y r el radio de la esfera, entonces se cumple:

$\frac{r}{a}=\frac{h}{\sqrt{(h-a)^{2} -a^{2} } }$

$\frac{3}{a}=\frac{4}{\sqrt{(4-a)^{2} -a^{2} } }$

$\frac{3}{a}=\frac{4}{\sqrt{(4^{2}-8*a + a^{2}-a^{2} } }$

$\frac{3}{a}=\frac{4}{\sqrt{(16-8*a) } }$

$\frac{3}{a}=\sqrt{\frac{16}{(16-8*a) } }$

$(\frac{3}{a})^{2} =\frac{16}{8*(2-a)}$

$\frac{9}{a^{2}} =\frac{2}{(2-a)}$

${9}*(2-a)} ={2}*{a^{2}$

$18-9*a ={2}*{a^{2}$

2*a²+9*a-18=0

a²+4.5*a-9=0

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene a₁ = 1.5 y a₂ = - 6. Como el radio de la esfera no puede ser negativo entonces a = 1.5 cm.

¿Cómo podemos calcular el volumen ( V ) de una esfera conocido su radio ( a )?

Para calcular el volumen ( V ) de una esfera conocido su radio ( a ) utilizamos la siguiente ecuación:

V = ( 4/3 )*π*a³

V = ( 4/3 )*π*( 1.5 )³

V =  ( 4/3 )*π*3.375

V = 14.1372 cm³

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