calcule el volumen de un cono de revolucion si el desarrollo de la superficie lateral es un semicirculo de area 6pi
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El área de un círculo es: A= π·r²
Si el semicírculo tiene 6π de área, el área del círculo completo tendrá 2·6·π = 12π
Por tanto, podemos hallar el radio despejándolo de esa fórmula:
r = √(A / π) = √ (12π / π) = √ 12 = 2√3 es el valor del radio de ese semicírculo que, además, será el valor de la arista generatriz del cono.
Pero si nos fijamos en la figura nos daremos cuenta que ese mismo radio corresponde al radio de la circunferencia de la base del cono de tal manera que al construirlo nos daremos cuenta de que dicho cono NO TIENE ALTURA, ES PLANO, así que la altura h=0.
De ahí puede deducirse que no puede construirse el cono con esas magnitudes ya que al aplicar la fórmula del volumen del cono:
V = Ab · h / 3... como tenemos que h = 0, el resultado es 0. No tiene volumen.
Creo que es un ejercicio/trampa para marear.
Saludos.
Si el semicírculo tiene 6π de área, el área del círculo completo tendrá 2·6·π = 12π
Por tanto, podemos hallar el radio despejándolo de esa fórmula:
r = √(A / π) = √ (12π / π) = √ 12 = 2√3 es el valor del radio de ese semicírculo que, además, será el valor de la arista generatriz del cono.
Pero si nos fijamos en la figura nos daremos cuenta que ese mismo radio corresponde al radio de la circunferencia de la base del cono de tal manera que al construirlo nos daremos cuenta de que dicho cono NO TIENE ALTURA, ES PLANO, así que la altura h=0.
De ahí puede deducirse que no puede construirse el cono con esas magnitudes ya que al aplicar la fórmula del volumen del cono:
V = Ab · h / 3... como tenemos que h = 0, el resultado es 0. No tiene volumen.
Creo que es un ejercicio/trampa para marear.
Saludos.
starkarli:
lasa claves son : pi, 2pi ,3pi, 4pi , 5pi
Pues es demostrable en forma práctica. Recorta un semicírculo en un folio. Ahora intenta construir con él un cono entendiendo, como dice el ejercicio, que ese semicírculo ES el desarrollo de un cono. A ver si puedes.
XD
La respuesta es 3pi.
Primero: Si el desarrolo de la superficie lateral es un semicirculo La generatriz es igual a 2 veces el radio. g =2r
Segundo: SI el área de la superficie lateral es 6pi. Aplicando la fórmula para hallar el " área de la superficie lateral de un cono" sería: "Asl" = π r g = 6 π , se cancelan los π (pi) en ambos lados y queda: r. g = 6 / Tercero: Como ya se obtuvo que g=2r , entonces reemplazamos: r . g = r . 2r = 6 , con esta ecuación hallamos r = √3 y también "g" que es el doble o sea : g= 2√3
Cuarto: Se necesita tener la altura "h" del cono y se encuentra de la siguiente forma: En todo cono circular recto se cumple que " la generatriz al cuadrado es igual a la altura al cuadrado más el radio al cuadrado. " Como el teorema de Pitágoras ... (mal llamado teorema de Pitágoras ya que él no lo enunció realmente) .... De aquí se obtiene que la altura es 3 h =3. ! Listo ! ya solo queda reemplazar.
Quinto: el volumen es igual al Área de la base "Ab" por las altura "h" y todo sobre 3: V = Ab · h / 3 . Como el área de la base es el área del círculo de radio "r". Entonces: V = π . r²: h / 3 . ya se conoce los valores numéricos de "h" y "r". Reemplazalos y finalmente el volumen será igual a 3pi.
Observaciones: !LA ALTURA ES IGUAL A 3! , creo que no se visualiza muy bien. La demostración del primer paso g = 2r es muy simple. Lo que significa desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución es transforma dicha superficie en un sector circular. Este a su vez posee tres elementos Radio arco y medida angular. Y en este caso: Radio = generatriz del cono (g), Arco = el perímetro de la base circular del Cono (2πr) . Si reemplazas en la formula L= θ .r , θ= 2π.r/g.
Como en el dato dicen que el "desarrollo de la superficie lateral" o "sector circular" es un semicírculo. la medida de su angulo central por tanto es 180 grados o lo que es lo mismo "π" . θ = 180· = π . Ahora solo reemplaza este valor en la ecuación final de mi anterior comentario y dará como resultado g = 2r .
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