Question

Calcule el número de caras de un
prisma donde el número de vértices
más el numero de aristas es 50.
C) 30
A) 10
D) 12
B) 20
E) 18​

Answer 1

Tema: Teorema de Euler para poliedros

⇒ D) 12 caras.

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema haremos uso del teorema de Euler para poliedros el cual establece una relación entre el números de caras (C), aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todo poliedro convexo. La formula que representa esto es:

$C+V=A+2$           Ec.1

Por el enunciado sabemos que $A+V=50$

si Despejamos A:

$A=50-V$         Ec.2

Sustituyendo Ec.2 en Ec.1:

$C+V=(50-V)+2\\C+2V=52$         Ec.3    

Además otro dato es que estamos trabajando con un prisma, Por lo que el número de vértices irá en función de dos veces el número de lados de la  figura que estemos usando.

Si por ejemplo tenemos un prisma triangular este tiene 5 caras, si le restamos 2 (la cara superior e inferior )nos queda 3. Es decir el número de lados del triangulo.

Si tenemos un prisma pentagonal sucede lo mismo, tiene 7 caras, menos dos, nos da 5 lo equivalente a los 5 lados del pentágono.

Así pues:

$2(C-2)=V$        Ec.4

Finalmente, sustituimos Ec.4 en Ec.3 y resolvemos:

$C+2(2(C-2) )=52\\C+4C-8\\5C=60\\C=12$

Por lo tanto tendrá 12 caras.