Question

Calcule el máximo valor de:
F= 4 cos x – 2 sen (π/6+ x) ∀ x ∈ R

Answer 1

Una función tiene un máximo en los puntos en que su primera derivada es nula y su segunda derivada nula en los puntos críticos.

Derivamos:

F' - 4 sen x - 2 cos(x + π/6) = 0

O bien: 2 sen x + cos(x + π/6) = 0

Desarrollamos: 2 sen x + [cos x cos π/6 - sen x sen π/6] = 0

sen x (2 - 0,5) + 0,866 cos x =

1,5 sen x = - 0,866 cos x; o bien

1,5 tg x =  - 0,866

tg x = - 0,866 / 1,5 = - 0,577

Calculadora en radianes.

x = - 0,52357

F = 4 cos(- 0,52357) - 2 sen(-0,52357 + 0,52357)

F = 3,46 es el valor máximo.

Comprobamos, buscamos la segunda derivada.

F'' = 2 sen(x + π/6) - 4 cos x

F'' = 2 sen(- 0,52357 + 0,52357) - 4 cos(-0,52357)

F'' = - 3,46; negativo, hay un máximo

Adjunto gráfico

Hay infinitos valores de x para el valor máximo:

- 0,52357 + 2 k π, con k ∈ R como se observa en el gráfico.