Question

Calcule el area entre las funciones y1= x^2–4x+3 y y2=2x^2+2x+3

Answer 1

Para calcular el área encerrada primero hallemos los puntos de intersección entre ellas igualándolas:

$x^2-4x+3=2x^2+2x+3\\x^2-4x=2x^2+2x\\0=x^2+6x\\x=0; x=-6$

El área está comprendida entre x=0 y x=-6

Ahora hay que hallar los ceros para ver si no los hay dentro del intervalo:

$x_{1,2}=\frac{4\±\sqrt{4^2-4.1.3} }{2} =>x_{1}=1; x_{2}=4$

Esos son los ceros de la primera parábola, los cuales están fuera del intervalo del área.

Ahora los de la segunda:

$x_{3,4}=\frac{-2\±\sqrt{2^2-4.2.3} }{4}= \frac{-2\±\sqrt{4-24} }{4}$

La segunda parábola no tiene raíces reales.

Con esto sabemos que el área se reduce a:

$A=\int\limits^0_{-6} {2x^2+2x+3} \, dx-\int\limits^0_{-6} {x^2-4x+3} \, dx$

Porque cada una de las integrales (al no haber ceros entre 0 y -6 de ninguna de las dos) representa el área encerrada entre la curva de cada una, el eje x y las rectas x=0 y x=-6. De modo que el área entre las dos curvas es la diferencia entre dichas áreas.

Si alguna de las funciones tuviera ceros dentro del intervalo de x donde está el área buscada habría que hacer la integral por tramos delimitados por dichas raíces porque en realidad el área bajo una curva entre dos puntos a y b se define como:

$A=\int\limits^a_b {|f(x)|} \, dx$

Haciendo esta salvedad procedemos con las integrales:

$A=[\frac{2x^3}{3}+x^2+3x ]^0_{-6}-[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x ]^0_{-6}=0-(-144+36-18)-[0-(-72-72-18)]=144-36+18-72-72-18=-36$

El área obtenida dió negativa esto significa que en el orden en que se hizo la resta de áreas, la segunda parábola está por encima de la primera en el intervalo de interés. El área buscada es 36.