Question

calcule el área de la region sombreada ​

Answer 1

Respuesta:

A = $\frac{2\pi }{81}$ unidades cuadradas

Explicación paso a paso:

Se tiene que el segmento OT que va desde el centro hasta el punto tangente es perpendicular por lo tanto se forma un triangulo rectángulo y en el centro se tiene un angulo de 60° para el sector circular blanco y para el sector circular gris un angulo de 120°. Por lo tanto se tiene un cateto opuesto que es el radio de la circunferencia.

Por razón trigonométrica  tan $\alpha$ = CO/CA = OT/PT = r/PT

tan $30$° = r/ 9$\sqrt{3}$, despejando r y

r = tan 30°/  9$\sqrt{3}$ , tan 30= $\frac{1}{\sqrt{3} }$

r = $\frac{\frac{1}{\sqrt{3} } }{9\sqrt{3} }$ , realizando la división

r = $\frac{1}{9\sqrt{3} ^{2} }$

r = $\frac{1}{9.3}$

r = $\frac{1}{27}$

Ahora con el radio y el angulo de 120° se calcula el área de ese sector:

A = $2\pi .r .\alpha /360$

A = $2\pi . r 120/ 360$ = $2\pi . r / 3$

A = $2 \pi . \frac{1}{27} / 3$

A = $\frac{2\pi }{\frac{27}{3} }$

A = $\frac{2\pi }{81}$ unidades cuadradas