Question

Calcular una aproximación de ln (1.4) a partir del desarrollo hasta
tercer grado de la función f (x) = ln (1 + x) en el punto x = 0. comparen el valor
que encuentre con el obtenido con la calculadora: ln (1.4) = 0.3364722. . .

Answer 1

Hallemos la aproximación hasta el tercer grado por medio de la serie de Taylor en el entorno de x = 0
 
                        $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{3}\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i+o(x^3)\\ \\ \\ f(x)= f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+\dfrac{f'''(0)}{6}x^3+o(x^3)\\ \\ \\ \texttt{Hallemos las derivadas sucesivas de la funci\'on }\\ f(x)=\ln(1+x)\\ \\ \\ f(0)=0\\ \\ f'(x)=\dfrac{1}{1+x}\to f'(0)=1\\ \\ f''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}\to f''(0)=-1\\ \\ f'''(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3}\to f''(0)=2\\ \\ \\ \texttt{Por tanto: }\\ \\ f(x)\sim x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3$
 
                   
$\ln(1.4)=f(0.4)\sim 0.4-\dfrac{1}{2}(0.4)^2+\dfrac{1}{3}(0.4)^3=\dfrac{128}{375}$