Question

Calcular por L’Hôpital los siguientes límites: lim┬(X→0) (xcosx-senx)/x^3

Answer 1

SOLUCIÒN

Hola‼ ✋

El Teorema de L'Hospital consiste en derivar tanto el numerador como el denominador tantas veces hasta eliminar la indeterminaciòn, entonces

                                 $\lim_{x \to 0} (\frac{x\cos(x) - \sin(x)}{x^{3}})\\\\\lim_{x \to 0}\frac{[x\cos(x) - \sin(x)]'}{(x^{3})'}$

→ [xcos(x) - sin(x)]' = [x' cos(x) + x cos'(x)] - sin'(x)

                             = [cos(x) - xsin(x)] - cos(x)

                            = -xsin(x)

→ (x³)' = 3x²

                                    $\lim_{x \to 0}\frac{-x\sin(x)}{3x^{2}}\\\\\lim_{x \to 0}\frac{-\sin(x)}{3x}$

Como sigue existiendo indeterminación seguimos derivando

                                     $\lim_{x \to 0}\frac{-\sin(x)}{3x}\\\\\lim_{x \to 0}\frac{(-\sin(x))'}{(3x)'}\\\\\lim_{x \to 0}\frac{-\cos(x)}{3}$

Ya que no existe indeterminación resolveremos el  límite

                           $\boxed{\lim_{x \to 0}\frac{-\cos(x)}{3} = \frac{- \cos(0)}{3} = -\frac{1}{3} }$