Question

Calcular los siguientes límites.

Answer 1

La función f(x) es continua en  x = -5  y  x = -3  si se cumple que los valores de a y b son:   a = 1/3  y  b = -7/25

Explicación:

Una función f(x) es continua en un valor dado x = α si se cumple que:

$f(\alpha )= \lim_{x \to\alpha } f_(x)$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.

En esto último nos vamos a basar para resolver nuestro problema: ya que f(-5) y f(-3) están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR  x  =  -5

1.- f(-5)  =  b(-5)²  +  24  =  25b  + 24

2.- $\lim_{x \to \-5^{-} } (bx^{2} +24)=25b+24$

$\lim_{x \to \-5^{+} } (12-x)=17$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$17=25b+24$    ⇒    $b=-\frac{7}{25}$

VALOR  x  =  -3

1.- f(-3)  =  12  -  (-3)  =  15

2.- $\lim_{x \to \-3^{-} } (12-x)=15$

$\lim_{x \to \-3^{+} } (x^{2} -2ax+4)=13+6a$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$15=13+6a$    ⇒    $a=\frac{1}{3}$