Question

Calcular las ecuaciones de las circunferencias que
pasan por el punto A(-1; 5) y son tangentes a las dos rectas concurrentes:
3x + 4y - 35 = 0; 4x + 3y + 14 = 0

Answer 1

Dados:

A(-1,5)

Dos tangentes concurrentes:

3X +4Y -35 = 0

4X +3Y +14 = 0

Primero determinaremos centro y radio:

Sea C(h,K9 )el centro de la circunferencia y r su radio

Calculo de la distancia de una recta a un punto:

d= Ah +Bk + C /√A² + B²

Reemplazamos datos de las rectas

3h +4k -35 = 4h +3K +14

K = h + 49

d( C,L1) = d ( A,C)

Ecuación del punto:

√(h+1) ²+(k -5)² = 3h +4k -35

(√(h+1) ²+(k -5)²)² = (3h +4k -35)²

h² -2h + 1 +k² +10k +25 = 9h² +16k² +1225 +24hk -210h -280k

-8h²-15k²-24hk +208h+290k -1199 =0

Reemplazo k = h +49 en la ecuación:

-8h²-15(h+49)²-24h(h+49) +208h+290(h+49)-1199 =0

-8h² -15(h² -98h +2401 -24h² -1176 +208h +290h + 14200 =0

-8h² -15h² +1470h -36015 +360h² -1176 +208h +290h + 14200 =0

337h² +1968h -22991 = 0 Resolver ecuación de segundo grado

h1 = -11,68

h2 = 5,84

k1 = 37,32

k2 = 54,84

Centros de las circunferencias:

C1 ( -11,68;37,32)

C2 (5,84; 54,84)

Y sus radios:

r1 y r2

Ecuaciones

Primer circulo: (X + 11,68)² + (Y- 37,32)² ) = r1²

Segundo circulo: ( X-5,84)² +( Y -54,84)² = r2²