Calcular las dimensiones o medidas de un rectángulo cuyo perímetro mida 64 m de modo que su área sea máxima.
Respuestas a la pregunta
El área de un rectángulo es A = xy donde x es el ancho, y y el largo.
Su perímetro está dado por: P = 2x + 2y = 64.
Despejando y del perímetro:
2x + 2y = 64
2y = 64 - 2x
y = 32 - x
Sustituyendo en el Área:
A = xy
A = x(32-x)
A = 32x - x²
Como se observa el área del rectángulo es una parábola que abre hacia abajo y que alcanza su valor máximo en el vértice, por tanto, si calculamos la coordenada x del vértice de la parábola obtendremos la medida de x para la que se alcanza el área máxima.
La abscisa del vértice de una parábola ax² + bx + c está dada por:
xm = -b/2a
xm = -32 / 2(-1)
xm = 16 m → Ancho requerido para el área máxima
Calculemos la coordenada ym evaluando en el perímetro:
2(16) + 2y = 64
32 + 2y = 64
2y = 32
y = 16 m → Largo requerido para el área máxima
R/ El área máxima de un terreno rectangular de perímetro igual a 64 m se alcanza cuando su largo y ancho son iguales a 16 m.
CONCLUSIONES PARA RECORDAR:
Como regla general, un terreno rectangular tiene área máxima cuando el terreno es cuadrado, es decir, cuando su largo y su ancho son iguales.