Question

Calcular la velocidad del movil en el punto P, si la particula es lanzada horizontal mente en el punto A y llega al punto B como indica la figira considere g=10m/s^2

Answer 1

La velocidad del móvil en el punto P es de 25 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Calculamos el tiempo de vuelo del móvil

$\large\textsf{Tomamos por imposici\'on de enunciado un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzado $\bold {H= 80 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

Donde $\bold { V_{0y} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 80 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 160 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{16\ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 4 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del móvil es de 4 segundos

Hallamos la velocidad inicial del móvil en el punto A

Luego hallamos la velocidad con la cual el proyectil fue lanzado horizontalmente en el punto A

Dado que conocemos a que distancia horizontal llegó el móvil desde su lanzamiento desde el punto A y llegó al punto B por tanto sabemos su alcance máximo $\bold { x_{MAX} = 60 \ m}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{x} \ . \ t }}$

Donde como en el eje x se tiene un MRU despejamos la velocidad inicial

$\boxed {\bold { V_{0x} = \frac{ x_{MAX} }{t} }}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = \frac{ 60 \ m}{ 4\ s} }}$

$\bold{V_{0x} = V_{0} }$

$\large\boxed {\bold { V_{0} =15\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad inicial con fue lanzado el móvil en A fue de 15 metros por segundo (m/s)

Calculamos la velocidad del móvil en el punto P

1) Establecemos el vector velocidad para el móvil en P

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial que hallamos en el paso anterior

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =15\ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, empleamos la siguiente ecuación

$\large\boxed {\bold {(V_{f})^{2} = (V_{0})^{2} + 2 \ . \ g \ .\ H }}$

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical

$\bold { V_{0y} = 0 }$

$\large\textsf{Luego la ecuaci\'on se reduce a }$

$\large\boxed {\bold {(V_{f})^{2} = 2 \ . \ g \ .\ H }}$

Consideramos la altura H de 20 metros en el punto P

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { ( V_{y} )^{2} =2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \ . \ 20\ m }}$

$\boxed {\bold { ( V_{y} )^{2} =400 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =\sqrt{ 400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =20\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad del móvil en el punto P se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(15 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(20 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{225 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{625\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 25 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad del móvil en el punto P es de 25 metros por segundo (m/s)

Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento