Question

Calcular la suma de las inversas de todos los divisoresde 5400.

Answer 1

Respuesta:

3,44

Explicación paso a paso:

Answer 2

La suma de las inversas de todos los divisores de 5400 es igual a $\frac{31}{9}$.

¿Cómo hallar la suma de los inversos de los divisores?

El número 5400 puede ser factorizado como $5400=2^3.3^3.5^2$, con lo cual, los divisores de 5400 pueden factorizarse como $2^a.3^b.5^c$, donde 'a' y 'b' pueden tomar cualquier valor entero entre 0 y 3, mientras que 'c' puede ser cualquier valor entero entre 0 y 2.

De esta factorización podemos determinar que el número 5400 tiene 4.4.3=48 divisores. Usando la serie de potencias, la suma de todas las inversas de estos divisores es:

$S=\sum^{2}_{i=0}(\frac{1}{5})^i\sum^{3}_{i=0}(\frac{1}{2})^i\sum^{3}_{i=0}(\frac{1}{3})^i$

Podemos utilizar la expresión de la suma de una serie geométrica para hallar el valor de cada una de las sumatorias para luego multiplicarlas entre sí:

$S=\frac{1-(\frac{1}{5})^3}{1-\frac{1}{5}}.\frac{1-(\frac{1}{2})^4}{1-\frac{1}{2}}.\frac{1-(\frac{1}{3})^4}{1-\frac{1}{3}}\\\\S=\frac{1-\frac{1}{125}}{\frac{4}{5}}.\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}}.\frac{1-\frac{1}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{\frac{124}{125}}{\frac{4}{5}}.\frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}.\frac{\frac{80}{81}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{4}\frac{124}{125}.2.\frac{15}{16}\frac{3}{2}\frac{80}{81}\\\\S=\frac{31}{9}$

Aprende más sobre la serie geométrica en https://brainly.lat/tarea/5969411

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