Question

Calcular la siguiente integral definida
∫_(π/3)^(π/2)▒〖〖sen〗^3 x〖csc〗^4 xdx〗

Answer 1

Luego de calcular la integral obtenemos que es igual a - (π/3)^(π/2)* ln(csc(x) + ctg(x)) + C

Premisas para calcular la integral solicitada

Para calcular la integral solicitada usaremos primero la linealidad de la integral, la que nos permite extraer el término constante de la integral, luego usaremos la definición de cosecante de una función donde tenemos que la csc(x) = 1/sen(x)

Cálculo de la integral de la función

Tenemos la integral: ∫(π/3)^(π/2)*sen³(x)*csc⁴(x)dx

Usamos primero la linealidad de la integral:

(π/3)^(π/2)∫sen³(x)*csc⁴(x)dx

= (π/3)^(π/2)∫sen³(x)*1/sen⁴(x) dx

=  (π/3)^(π/2)∫1/sen(x) dx

=   (π/3)^(π/2)∫csc(x) dx,

Ahora, debemos usar la integral primitiva que nos dice que ∫csc(x) dx = -ln(csc(x) + ctg(x)) + C

= - (π/3)^(π/2)* ln(csc(x) + ctg(x)) + C

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