Question

Calcular la siguiente integral de linea

Answer 1

Como la curva es la intersección de la esfera con el cilindro, entonces :

x²+y²=R²/4

x²+y²+z²=R²

Parametrizando:

>x²+y²=R²/4

4x²/R²+4y²/R²=1

2x/R= cosα

x=Rcosα/2    y=Rcosα/2

>x²+y²+z²=R²

R²/4 + z²=R²

z= +- √3R/2

Tomando para z>0:

Su parametrización será:

r(α) = ( Rcos(α)/2,Rsen(α)/2,√3*R/2),   0<α<2π

La integral de linea sobre un campo escalar es:

∫F(r(α))*|r'(α)|dS

Reemplazando:

r'(α)= (-Rsen(α)/2; Rcos(α)/2 ; 0)

|r'(α)| = √(R²sen²α/4 + R²cos²α/4 )  = R/2

∫(Rcosα/2)*(Rsenα/2)*(√3*R/2)* R/2 dα   "[ INTEGRANDO DE 0 A 2π ]"

(√3/16)*∫R⁴cosα*senα*dα

Nota: sen2α = 2senαcosα

(√3/32)*R⁴∫sen2α*dα

(√3/32)*R⁴*(-cos2α/2) |  0 a 2π

(√3/32)*R⁴*( -cos(4π)/2+cos(0)/2)

(√3/32)*R⁴*(-1/2+1/2) = 0