Question

Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Funciones f(x)=2x/∜(x^3+4)

Answer 1

La derivada de f(x)=2x/∜(x^3+4) es  $\frac{8*x^3-6x^{2}+32}{4*{\sqrt[4]{(x^3+4)}*(x^3+4)}}$

Derivada de la suma:

(f(x)+g(x))' = f'(x) + g(x)

La derivada de una fracción es:

$(f(x)/g(x)) = \frac{f'(x)*g(x) - g'(x)f(x)}{(g(x))^{2}}$

La derivada de una constante por una función es:

(k*f(x))' = k*f'(x)

La derivada de una potencia es:

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹

Regla de la cadena:

(f(g(x))' = f'(g(x))*g'(x)

Derivada de una constante:

(k') = 0

Entonces:

2x/∜(x^3+4) =$(\frac{2x}{\sqrt[4]{x^3+4}})'= \frac{(2x)'*(\sqrt[4]{x^3+4})-(\sqrt[4]{x^3+4})'*(2x)}{(\sqrt[4]{x^3+4})^{2}}$

= $\frac{2'*(\sqrt[4]{x^3+4})-((x^3+4)^{1/4})'*(2x)}{\sqrt[2]{x^3+4}}$

$= \frac{2*(\sqrt[4]{x^3+4})-\frac{1}{4}(x^3+4)^{1/4-1}*(x^3+4)'*(2x)}{\sqrt[2]{x^3+4}}$

$= \frac{2*(\sqrt[4]{x^3+4})-\frac{1}{4}(x^3+4)^{-3/4}*3x*(2x)}{\sqrt[2]{x^3+4}}$

$= \frac{2*(\sqrt[4]{x^3+4})-\frac{6x^{2}}{4*\sqrt[4]{(x^3+4)^{3}}}}{\sqrt[2]{x^3+4}}$

$= \frac{\frac{(2*(\sqrt[4]{x^3+4})*4*\sqrt[4]{(x^3+4)^{3}}-6x^{2}}{4*\sqrt[4]{(x^3+4)^{3}}}}{\sqrt[2]{x^3+4}}$

$= \frac{8*(x^3+4)-6x^{2}}{4*{\sqrt[2]{x^3+4}\sqrt[4]{(x^3+4)^{3}}}}$

$= \frac{8*x^3-6x^{2}+32}{4*{\sqrt[4]{(x^3+4)^{2} }\sqrt[4]{(x^3+4)^{3}}}}$

$= \frac{8*x^3-6x^{2}+32}{4*{\sqrt[4]{(x^3+4)}*(x^3+4)}}$