Question

Calcular la longitud del contorno en y= 4-(x^2) y y=(x^2)-2x (Longitud de Arco en coordenadas carteseanas)

Answer 1

Veamos: la integral de arco tiene la siguiente expresión:

L = ∫√(1 + y ' ²) dx entre a y b

Debemos hallar a y b, extremos de los contornos

Igualamos: x² - 2 x = 4 - x²; o bien 2 x² - 2 x - 4 = 0

Resolvemos: a = - 1, b = 2

Primera función: y ' = - 2 x

1 + y ' ² = 1 + 4 x²

La integral es un tanto compleja. Usando tablas de integrales se obtiene

I = 1/4 [Ln √(1 + 4 x²) + 2 x] + 1/2 x √(1 + 4 x²)

Para los extremos del problema L1 = 6,257

Segunda función: y ' = 2 x - 2

1 + y ' ² = 4 x² - 8 x + 5; la integral es:

I = 1/4 [ Ln√(4 x² - 8 x + 5) + 2 x - 2] + 1/2 (x - 1) √(4 x² - 8 x + 5)

Para los extremos del problema I2 = 6,1257

En el gráfico adjunto se aprecia que los dos contornos son iguales.

El contorno vale entonces 2 . 6,1254 = 12,514

Saludos Herminio