Question

Calcular la longitud de arco del cardiode r= 4 - 4 cosθ

Answer 1

Se tiene que el diferencial de longitud de arco en coordenadas polares es 

ds = √((dr/dθ)² + r²)dθ. 

Pero dr/dθ = -sen θ. Entonces el diferencial de longitud de arco anterior queda 

ds = √((-sen θ)² + (1 + cos θ)²)dθ 

= √(sen²θ + 1 + 2cos θ + cos²θ)dθ 

= √(2 + 2cos θ)dθ 

= √(2(1 + cos θ))dθ 

Pero mediante las identidades del ángulo doble del coseno, se obtiene que 

1 + cos θ = 2·cos²(θ/2) 

y por consiguiente, 

ds = √(4·cos²(θ/2))dθ 

= |2·cos(θ/2)|dθ 

Entonces ds = 2·cos(θ/2)dθ en la mitad superior de la cardioide, donde 0 ≤ θ ≤ π, y así, cos(θ/2) ≥ 0. Por lo tanto, 

. . . . π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π 
s = 2 ∫ 2·cos(θ/2)dθ = 8·[sen (θ/2)] = 8. 
. . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 

Saludos.