Question

calcular integral por sustitución o por partes
∫㏑(x²+1)dx

Answer 1

Respuesta:

∫ln(x^2+1)dx

Es la integral dada y la resolveré usando integración parcial ( por partes ).

1) Reescribo ln( x^2+1 ) a manera de producto.

ln(x^2+1) dx = ln(x^2+1)×1dx

2) Preparo para proceder a integrar por partes estableciendo u y dv :

u = ln(x^2+1) y dv = 1dx

3) Hallo el diferencial usando du = u' du

du = d/dx[ ln(x^2+1) ]du

du = (d/dx[ ln(x^2+1) ]×d/dx[ x^2+1 ] ) du

du = ( 1/(ln(x^2+1)×(d/dx)(x^2]+d/dx[1] ) du

du = (1/ln(x^2+1)×(2x+0))du

du = (1/ln(x^2+1)×2x)du

du = (2x/ln(x^2+1))du

4) Hallo v .

dv = 1dx

∫dv = ∫1dx

v = x

5) Reemplazo u = ln(x^2+1) y v = x , du =

du = (2x/ln(x^2+1))du y dv = 1dx en la fórmula ∫udv = uv-∫vdu :

ln(x^2+1)×x-∫(x×(1/x^2+1)×2x) du

6) Uso ∫a×f(x)dx = a×∫f(x)dx

ln(x^2+1)×x-1×2∫(x×(1/(x^2+1))×x du

ln(x^2+1)x-2∫ (x×(1/(x^2+1)x) du

ln(x^2+1)x-2∫(x^2)/(x^2+1)du ; x^2 = x^2+1-1

ln(x^2+1)x-2∫(x^2+1-1/(x^2+1))du

ln(x^2+1)x-2∫((x^2+1/x^2+1)-(1/x^2+1)) du

= ln(x^2+1)x-2(∫((x^2+1)/(x^2+1))du - ∫(1/(x^2+1))du)

= ln(x^2+1)x-2(∫1dx-∫1/(x^2+1)dx)

= ln(x^2+1)x-2(x-(∫1/((x)^2+(1)^2)dx)

= ln(x^2+1)x-2(x+((-1/1)×arctan(x/1))

= ln(x^2+1)x-2(x-arctan(x))

= ln(x^2+1)x-2x+2arctan(x)

= ln(x^2+1)x-2x+2arctan(x)+c

R// ln(x^2+1)-2x+2arctan(x)+c es la integral de ∫ ln( x^2+1 )dx

Espero ello te sea útil.

Saludos.

Explicación paso a paso: