Question

Calcular el volumen del solido acotado por el cilindro y= x^2 y los planos y+z=4 y z=0

Answer 1

Como el solido es la intersección de: 

y=x²
y+z=4
z=0

Hallamos los límites de integración y la región de integración:

Para hallar los limites igualamos las ecuaciones:

y+z=4 →z=0
y=4 

El plano y+z = 4 y el plano XY intersectan en el punto y=4

La altura del solido comienza en el plano XY, es decir, en z= 0 y donde termina es en la intersección del cilindro con el plano, pero esta altura es variable de acuerdo al plano.

Por lo tanto z varia entre :

0≤z≤4-y

Hallando eso, finalmente calculamos la región R de integración: 

Proyectamos el cilindro sobre el eje XY, lo cual nos da una parábola, donde termina en y=4 por la interseccion del plano z+y=4 y el plano XY.

Graficando tu región de integración, establecemos los limites donde varia X e Y .

Lo tomaré como una región de tipo 1, el valor de X  varía en la parábola:

-2≤x≤2
x²≤y≤4

Finalmente realizando la integral:
$\int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^2} \int\limits^{4-y}_{0} \, dV \\ \int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^2} \int\limits^{4-y}_{0} \, dzdydx \\ \int\limits^2_{-2} \int\limits^4_{x^2}4-y \, dydx \\ \int\limits^2_{-2}8-4x^2+ \frac{x^4}{2} \, dx$

V= $\frac{256}{15} u^{3}$