Question

calcular el valor de x x+x-1+x-2+x-3+...+8+7+6+5=810​

Answer 1

Queda bastante a la vista que se trata de una progresión aritmética (P.A.) decreciente, ya que el valor de sus términos va disminuyendo al restar una unidad a cada nuevo término.

Aunque te faltó colocar paréntesis para que quedara más claro de tal modo que los términos serían estos:

• a₁ = x
• a₂ = x-1
• a₃ = x-2
• a₄ = x-3
• ...
• aₙ₋₂ = 7
• aₙ₋₁ = 6
• aₙ = 5

Y los datos que nos valdrán para la solución son:

• Primer término ... a₁ = x
• Último término ... aₙ = 5
• Diferencia entre términos consecutivos ... d = -1
• Suma de términos ... Sₙ = 810
• Nº de términos ... n = ?

Fórmula general de las  PA:   aₙ = a₁ + (n-1) × d

Sustituyo datos conocidos:

5 = x + (n-1) × (-1) ... reduciendo a su mínima expresión ...

5 = x - n + 1

4 = x - n

n = x - 4

(reservamos esto)

Fórmula de suma de términos de una P.A.

$\bold{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2}}$

Sustituyo datos conocidos:

$810=\dfrac{(x+5)*n}{2} \\ \\ 1620=(x+5)*n\\ \\\bold {n=\dfrac{1620}{x+5}}$

Resolvemos por igualación:

$x-4 = \dfrac{1620}{x+5} \\ \\ x^2-4x+5x-20=1620\\ \\ x^2+x-1640=0$

Resolviendo esta ecuación cuadrática por su fórmula general nos sale:

$x_1=\dfrac{-1+81}{2} =40\\ \\ x_2=\dfrac{-1-81}{2} =-41$

De esos dos valores para "x" solo nos sirve el positivo (40). ¿Por qué?

Porque si nos fijamos en la PA, el último término tiene valor positivo, así que si consideráramos el primer término de la PA con valor -41, al añadirle la diferencia negativa (-1), el valor final de la progresión también saldría negativo y nunca podría ser el que nos dice el ejercicio que lleva signo positivo (+5).

Con ese razonamiento queda claro que:

x = 40