calcular el valor de un capital que, colocado durante 17 meses al 2% mensual de interés, produce a interés compuesto un monto superior en $60 al que colocado a interés simple durante el mismo plazo y a la misma tasa de interés.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El valor de capital, VP, calculado, de acuerdo al enunciado del problema es 1000 $.
Explicación:
Datos:
i = 2% mensual
n = 17 meses
De esta manera, el valor futuro, de una inversión a interés compuesto se expresa por la ecuación:
VF = VP ( 1 + i )ⁿ; ( 1 ),
donde i es la tasa de interés a pagar durante cada período n.
Entonces, el interés devengado durante n períodos será:
I = VF - VP; ( 2 )
Reemplazando ec. ( 1 ) en ec. ( 2 ):
I = VP ( 1 + i )ⁿ - VP ⇒ I = VP[ ( 1 + i )ⁿ - 1] ( 3 )
Sustituyendo i y n en ec. (3), se tiene que el interés devengado durante los 17 meses es:
I = VP[ ( 1 + 0,02)¹⁷ - 1 ] = 0,40VP ∴ I = 0,40VP; ( 4 )
De igual manera, el valor futuro, de una inversión a interés simple se expresa por la ecuación:
VF = VP ( 1 + in ); ( 5),
Asimismo, el interés devengado durante n períodos será:
I = VF - VP;
Sustituyendo VF por ec. ( 5 ), se tiene que:
I = VP(1 +ni) - VP= niVP ⇒ I = niVP ( 6 )
Reemplazando en ec. (6), i y n, se tiene que:
VP= 0.02*17VP ∴ I = 0,34VP; ( 7 )
El enunciado dice que el Interés devengado del capital colocado a interés compuesto es 60$ mayor que el colocado a interés simple. Esto significa, utilzando las ec. ( 4 ) y ( 7 ), que:
0,40VP = 0,34VP + 60
Entonces,
0,40VP - 0,34 VP = 60 ⇒ 0,06VP = 60
⇒ VP = 60/0,06 = 1000
∴ VP = 1000,00 $
Entonces el capital invertido, o VP, es 1000 $
A tu orden...