Question

Calcular el valor de k para que los puntos Aſk, 3), B(-4-5-k), C(2k+1,8) sean colineales es:
-2
4
-6
-8
Ninguna de las anteriores

Answer 1

La opción  c)    k  =  -6    es la opción que cumple que los puntos  A  B  C  son colineales.

Explicación:

Los puntos dados son colineales, lo cual implica que están sobre la misma línea recta. Por tanto, ellos satisfacen la ecuación de la recta y, en consecuencia, con ellos se puede calcular la pendiente de esta.

La pendiente  m  de una recta que pasa por los puntos  (x1, y1)  y  (x2, y2)   viene dada por:

$\bold{m~=~\dfrac{y2~-~y1}{x2~-~x1}}$

Vamos a tomar los puntos dados por parejas, calcular la pendiente e igualar las ecuaciones obtenidas:

1.    A  (k, 3)      y      B  (-4, -5 - k)

$\bold{m~=~\dfrac{-5~-~k~-~3}{-4~-~k}~=~\dfrac{-8~-~k}{-4~-~k}}$

2.    A  (k, 3)      y      C  (2k + 1, 8)

$\bold{m~=~\dfrac{8~-~3}{2k~+~1~-~k}~=~\dfrac{5}{k~+~1}}$

3.    C  (2k + 1, 8)      y      B  (-4, -5 - k)

$\bold{m~=~\dfrac{-5~-~k~-~8}{-4~-~2k~-~1}~=~\dfrac{-13~-~k}{-5~-~2k}}$

Tomamos  1.  y  2.

$\bold{\dfrac{-8~-~k}{-4~-~k}~=~\dfrac{5}{k~+~1}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{(-8~-~k)\cdot(k~+~1)~=~5\cdot(-4~-~k)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{-8k~-~8~-~k^2~-~k~=~-20~-~5k\qquad\Rightarrow}$

$\bold{k^2~+~4k~-~12~=~0\qquad\Rightarrow}$

$\bold{(k~+~6)(k~-~2)~=~0\qquad\Rightarrow}$

k  =  -6            ∨            k  =  2

Probamos estos valores en    1.  2.  y  3.

k  =  -6

$\bold{m=\dfrac{-8-(-6)}{-4-(-6)}=-1\qquad m=\dfrac{5}{(-6)+1}=-1\qquad m=\dfrac{-13-(-6)}{-5-2(-6)}=-1}$

k  =  2

$\bold{m=\dfrac{-8-(2)}{-4-(2)}=\dfrac{5}{3}\qquad m=\dfrac{5}{(2)+1}=\dfrac{5}{3}\qquad m=\dfrac{-13-(2)}{-5-2(2)}=\dfrac{5}{3}}$

Ambos valores de hallados de  k  cumplen con las ecuaciones de la pendiente y, por ende, son la solución de nuestro problema; sin embargo, en las opciones solo está el valor  -6.

La opción  c)    k  =  -6    es la opción que cumple que los puntos  A  B  C  son colineales.