Question

Calcular el máximo o mínimo de la función y= 2x² + 4x−3​

Answer 1

Respuesta:

El maximo y el mínimo se consiguen cuando la derivada de la funcion es 0. Partamos por lo primero, hagamos la derivada de la función. Suponiendo que sabes derivar:

$y ' = 4x + 4$

Ahora, la derivada es la pendiente de la recta tangente, puede parecer un poco difícil pero es sencillo. La pendiente es el grado en que una recta se inclina, para darte un ejemplo la pendiente del punto 0 es 4, lo se porque la pendiente es la derivada en el punto, es decir que en la formula de la derivada reemplace x por 0 y ya esta.

Una recta tangente es una linea que pasa unicamente por un punto de la curva. Por cada punto de la recta hay una unica recta tangente, para que la veas voy a poner una imagen. Cada recta tangente tiene su propia pendiente y depende del punto de la curva. A lo que quiero llegar con toda esta explicación es que la recta tangente con pendiente igual a 0 es una linea horizontal e indica el punto maximo de una funcion o el punto minimo de una función. La segunda imagen lo muestra.

Para descubrir cual x hace que la pendiente sea 0 tenemos que igualar la formula de la derivada a 0 ya que si la formula de la derivada es la pendiente entonces es logico:

$m = y'$

(La pendiente se simboliza con la letra "m" y la letra y' significa la derivada)

$m = 4x + 4 = 0 \\ 4x = - 4 \\ x = - 1$

Y ya casi lo tenemos, en esta funcion solo hay un máximo o un mínimo (es decir solo uno de los dos) y lo se porque la x tiene solo una respuesta que es -1, otras veces la x puede tener mas de una respuesta y ahi es que hay un maximo y un minimo.

Ahora lo que tenemos que hacer es descubrir si es un máximo o un mínimo y para esto debemos saber que la pendiente de un punto de la curva sera negativa o positiva dependiendo de hacia donde va la función. Dejare una imagen (es la tercera imagen). Para saber el signo de la pendiente debemos usar un numero mas pequeño que la respuesta de la x (que recordemos es -1) y luego un numero mas alto. Usare -2 y 0 ya que -2 es mas pequeño y 0 es mas grande que -1.

$m = 4 \times - 2 + 4 \\ = - 8 + 4 \\ = - 4 \\ m = - 4$

Cuando use el -2 la pendiente nos dio negativa por lo cual la funcion baja.

$m = 4 \times 0 + 4 \\ = 4 \\ m = 4$

Cuando use 0 la pendiente nos dio positiva por lo cual la funcion sube.

En este caso -1 sera cuando la función tenga un minimo ya que baja y luego sube. Si fuera al contrario, es decir, que si subiera y luego bajara entonces seria un máximo.

Para conseguir el punto mínimo debemos sustituir la x de la función por el -1:

$y = 2 {x}^{2} + 4x - 3 \\ f( - 1) = 2( { - 1)}^{2} + 4 \times - 1 - 3 \\ = 2 - 4 - 3 \\ = - 5$

Por lo que el punto mínimo de la función sera (-1, -5). Dejare una imagen para que lo veas por ti mismo.

Espero que hayas entendido todo. Buena suerte.