Question

calcular el límite de las siguientes funciones

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Answer 1

Algunos ejemplos para la resolución de límites son los siguientes:

1. $\lim_{x \to 0} 2x-1$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 0} 2x-1= 2(0) - 1 = -1$

2. $\lim_{x \to -3} x^{2} + 3x$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to -3} x^{2} + 3x = (-3)^{2} +3(-3) = 9 - 9 = 0$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x-3}{x^{2}+4 }$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 1} \frac{x-3}{x^{2}+4 } = \frac{1-3}{1^{2}+4 } = \frac{-2}{5}$

4. $\lim_{x \to 3} \sqrt{x+1}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 3} \sqrt{x+1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

5. $\lim_{x \to 7} \sqrt{x+2}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 7} \sqrt{x+2} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$

6. $\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^{2} -25}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^{2} -25}= \frac{5-5}{5^{2} -25} = \frac{0}{0}$

-Tenemos una indeterminación, entonces debemos quitarla manipulando de forma algebraica:

Factorizamos el denominador:

$= \lim_{x \to 5} \frac{(x-5)}{(x+5)(x-5)}= \lim_{x \to 5} \frac{1}{(x+5)}$

-Sustituimos:

$=\frac{1}{5+5} =\frac{1}{10}$

7. $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2}+x-6 }{x^{2} -9}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2}+x-6 }{x^{2} -9} = \frac{3^{2}+3-6 }{3^{2} -9} = \frac{6 }{0}$

Por definición $\frac{N}{0} =$∞ siendo N un número real cualquiera.

$\lim_{x \to 3} \frac{x^{2}+x-6 }{x^{2} -9} = \frac{6}{0}$=∞

8. $\lim_{x \to 4} \frac{x^{2}-5x+4 }{x^{2}-2x-8 }$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2}-5x+4 }{x^{2}-2x-8} = \frac{4^{2}-5(2)+4 }{4^{2}-2(4)-8 } = \frac{10 }{16} = \frac{5}{8}$

9. $\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{x^{2} -4}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{x^{2} -4} = \frac{2-2}{2^{2} -4} = \frac{0}{0}$

-Tenemos una indeterminación, entonces debemos quitarla manipulando de forma algebraica:

Factorizamos el denominador y reordenamos el numerador:

$\lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \lim_{x \to 2} -\frac{1}{(x+2)}$

-Sustituimos:

$= -\frac{1}{2+2} = -\frac{1}{4}$

10. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} -\sqrt{2} }{x}$

- Sustituimos el valor al que tiende el límite y si no hay indeterminación 0/0, el valor dado será la solución:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} -\sqrt{2} }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+0} -\sqrt{2} }{0}=\frac{0}{0}$

-Tenemos una indeterminación, entonces debemos quitarla manipulando de forma algebraica:

Multiplicamos el numerador y denominador por la conjugada del numerador de forma de no alterar la expresión:

$\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{2+x} -\sqrt{2} }{x})(\frac{\sqrt{2+x} +\sqrt{2} }{\sqrt{2+x} +\sqrt{2} }) = \lim_{x \to 0} (\frac{2+x-2 }{x(\sqrt{2+x} +\sqrt{2})}) = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{(\sqrt{2+x} +\sqrt{2})})$

-Sustituimos:

$=\frac{1}{\sqrt{2+0} +\sqrt{2} } = \frac{1}{2\sqrt{2} }$