Question

calcular el dominio en forma de intervalo de la funcion f(x)= ln( 3x^3+6x^2-9x)/(-4x^2+4x+24)^1/2

Answer 1

Respuesta:

$(-2; 0)$ U $(1; 3)$

Explicación paso a paso:

$f(x)=\frac{ln(3x^3+6x^2-9x)}{(-4x^2+4x+24)^{1/2} }$

si estamos en los numeros reales entonces:

la funcion logaritmo natural se define sólo para $x > 0$ :

$3x^3+6x^2-9x > 0\\x^3+2x^2-3x>0\\x(x^2+2x-3) > 0\\x(x-1)(x+3)>0$

puntos criticos: -3; 0; 1

  -              -               +             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------            $x$

   -             -               -              +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------             $x-1$

  -              +               +             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------             $x +3$

  -             +               -             +

------- -3 ---------- 0 ---------- 1 -----------          $x(x-1)(x+3)$      

Solamente sirven los intervalos donde la expresión sea positiva,

  $-3<x<0$   o   $x > 1$

Ahora con el denominador:

no se puede dividir por 0, ni la raiz puede ser negativa entonces:

$-4x^2+4x+24 > 0\\-x^2+x+6>0\\-(x+2)(x-3)>0\\(x+2)(x-3)<0$

Puntos criticos -2 y 3

   -                  +               +

-------- -2 -------------- 3 ----------           $x+2$

    -               -                 +

-------- -2 -------------- 3 ----------           $x-3$

    +               -                  +

-------- -2 -------------- 3 ----------           $(x+2)(x-3)$

Solamente sirven los intervalos donde la expresión sea negativa, entonces:

$-2 < x < 3$

los intervalos hallados son:

$-2 < x < 3$

  $-3<x<0$   ∨   $x > 1$

juntandolos es:

$-2 < x < 0$   ∨    $1<x<3$

en forma de intervalo:

$(-2; 0)$ U $(1; 3)$