Question

Calcular el diámetro que debe de tener el émbolo menor de una prensa hidráulica que aplica una fuerza de 160N para obtener en el émbolo mayor una fuerza de 1,000N con un diámetro de 20 cm​

Answer 1

El diámetro que debe tener el émbolo menor es de 8 centímetros

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Datos:

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor}\ \ \ \bold{160 \ N}$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{1000 \ N}$

$\bold{ d_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Di\'ametro \'embolo mayor}\ \ \ \bold{20 \ cm}$

Luego por enunciado sabemos que las fuerzas aplicadas sobre los émbolos menor y mayor son respectivamente de 160 N y de 1000 N

Siendo

$\bold{ F_{A} = 160 \ N }$

$\bold{ F_{B} = 1000 \ N }$

Determinamos la superficie o área del émbolo mayor

El émbolo mayor tiene un diámetro de 20 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{(20 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{400 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ 100 \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = 100 \pi \ cm^{2} }}$

$\bold{S_{B} = 314.16 \ cm^{2} }$

La superficie o área del émbolo mayor es de 100 π centímetros cuadrados

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }\ \ \ \bold{160 \ N}$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{1000 \ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \ \bold{100 \ \pi \ cm^{2} }$

Hallamos la superficie o área del émbolo menor

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ 160 \ N }{ S_{A} } = \frac{ 1000\ N }{ 100 \ \pi \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 160 \ N \ \ . \ 100 \ \pi \ cm^{2} }{1000 \ N } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 160 \ \not N \ \ . \ 100 \ \pi \ cm^{2} }{1000 \ \not N } }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 160 \ . \ 100 \ \pi }{1000 } \ cm^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ S_{A} = \frac{ 16000 \ \pi }{1000 } \ cm^{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{ S_{A} = 16 \pi \ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo menor es de 16 π centímetros cuadrados

Determinamos el diámetro del émbolo menor a partir de su área

Empleando la fórmula para calcular el área de un círculo, donde despejaremos el diámetro

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \left( \frac{D_{A} ^{2} }{4} \right) }}$

$\textsf{Despejamos el di\'ametro}$

$\boxed{ \bold{d_{A} = \sqrt{ \frac{ S_{A} \ . \ 4 }{\pi } } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ d_{A} = \sqrt{ \frac{ 16 \pi \ cm^{2} \ . \ 4 }{\pi } } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{A} = \sqrt{ \frac{ 16 \not \pi \ cm^{2} \ . \ 4 }{\not\pi } } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{A} = \sqrt{ 16 \ . \ 4 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ d_{A} = \sqrt{ 64 \ cm^{2} } }}$

$\large\boxed{ \bold{ d_{A} = 8 \ cm }}$

El diámetro que debe tener el émbolo menor es de 8 centímetros