calcular el area limitada por las curva y=x2 ; x=y2
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Hola :) ,
El área limitada entre dos curvas generalmente se hace mediante la integral entre los límites donde se intersectan.Algo importante y útil cuando uno empieza a hacer estos ejercicios es ver la gráfica de las funciones, como verás son 2 parábolas una centrada en el eje x y la otra en el eje y, y realizas la gráfica observarás tienen una área en común, te darás cuenta que los límites es de 0 a 1, en forma algebraica es así :
y = x²
x = y² => |√x| = y
Igualando "y" :
x² = |√x| / ²
![x^{4} - x = 0 \\
x^{3}(x-1) = 0 \\
x_{1} = 1 \\
x_{2,3,4} = 0 \\ x^{4} - x = 0 \\
x^{3}(x-1) = 0 \\
x_{1} = 1 \\
x_{2,3,4} = 0 \\](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B4%7D+-+x+%3D+0+%5C%5C%0Ax%5E%7B3%7D%28x-1%29+%3D+0+%5C%5C%0Ax_%7B1%7D+%3D+1+%5C%5C%0Ax_%7B2%2C3%2C4%7D+%3D+0+%5C%5C)
Generalmente para el cálculo de áreas entre funciones :
![A = \int\limits^a_b {(g(x) - f(x))} \, dx A = \int\limits^a_b {(g(x) - f(x))} \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D++%5Cint%5Climits%5Ea_b+%7B%28g%28x%29+-+f%28x%29%29%7D+%5C%2C+dx+)
g(x) es la función que va por encima de f(x) , si observas la gráfica , x=y² es esa función, hay que dejar todo en función de x por lo tanto , y(x) = √x ( se descarta -√x ya que los límites de integración están en un dominio positivo x>0),
Luego el área es :
![A = \int\limits^0_1 {( \sqrt{x} - x^{2})} \, dx \\ \\
A = (2\frac{x^{ \frac{3}{2}} }{3} - \frac{x^{3}}{3})|_{0}^{1} \\ \\
\boxed{A = \frac{1}{3}} A = \int\limits^0_1 {( \sqrt{x} - x^{2})} \, dx \\ \\
A = (2\frac{x^{ \frac{3}{2}} }{3} - \frac{x^{3}}{3})|_{0}^{1} \\ \\
\boxed{A = \frac{1}{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D++%5Cint%5Climits%5E0_1+%7B%28+%5Csqrt%7Bx%7D+-+x%5E%7B2%7D%29%7D+%5C%2C+dx+%5C%5C+%5C%5C%0AA+%3D++%282%5Cfrac%7Bx%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D+%7D%7B3%7D++-++%5Cfrac%7Bx%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%7C_%7B0%7D%5E%7B1%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7BA+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D+)
Saludos :)
El área limitada entre dos curvas generalmente se hace mediante la integral entre los límites donde se intersectan.Algo importante y útil cuando uno empieza a hacer estos ejercicios es ver la gráfica de las funciones, como verás son 2 parábolas una centrada en el eje x y la otra en el eje y, y realizas la gráfica observarás tienen una área en común, te darás cuenta que los límites es de 0 a 1, en forma algebraica es así :
y = x²
x = y² => |√x| = y
Igualando "y" :
x² = |√x| / ²
Generalmente para el cálculo de áreas entre funciones :
g(x) es la función que va por encima de f(x) , si observas la gráfica , x=y² es esa función, hay que dejar todo en función de x por lo tanto , y(x) = √x ( se descarta -√x ya que los límites de integración están en un dominio positivo x>0),
Luego el área es :
Saludos :)
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