Question

Calcular el ángulo comprendido entre los siguientes planos.

L1=X−5Y+4Z+3=0
L2=3X−2Y+6Z−5=0

Answer 1

El ángulo comprendido entre los planos L1 y L2 es de 35,3°.

Explicación paso a paso:

Como los vectores asociados a cada plano son normales a los mismos, el ángulo que entre sí forman los vectores asociados es el mismo ángulo que forman entre sí los planos.

Cabe destacar que entre los dos planos se puede obtener dos ángulos, ambos suplementarios entre sí, vamos a hallar el menor de ellos.

Tenemos que el producto escalar entre dos vectores es:

$v_1.v_2=||v_1||.||v_2||.cos(\theta)=v_{1x}v_{2x}+v_{1y}+v_{2y}+v_{1z}v_{2z}$

Donde el ángulo que forman los dos vectores queda:

$\theta=arccos[\frac{v_{1x}v_{2x}+v_{1y}+v_{2y}+v_{1z}v_{2z}}{||v_1||.||v_2||}]\\\\\theta=arccos[\frac{v_{1x}v_{2x}+v_{1y}v_{2y}+v_{1z}v_{2z}}{\sqrt{v_{1x}^2+v_{1y}^2+v_{1z}^2}.\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2+v_{2z}^2}}]$

Los dos vectores asociados son:

$v_1=(1,-5,4)\\v_2=(3,-2,6)$

Reemplazando queda:

$\theta=arccos[\frac{1.3+(-5)(-2)+4.6}{\sqrt{1^2+(-5)^2+4^2}.\sqrt{3^2+(-2)^2+6^2}}]\\\\\theta=arccos(\frac{37}{\sqrt{42}\sqrt{49}})\\\\\theta=35,3\°$