Question

Calcular a la longitud de una escalera que se apoya contra una pared a 10 dm de altura de manera que el ángulo formado por la escalera y el piso de forma horizontal mide 37 °. AYUDEN PLISS

Answer 1

La escalera tiene una longitud de 16,70 decímetros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la pared, el lado BC que representa la línea de suelo o plano horizontal y el lado AB es la longitud de la escalera, la cual conforma con el piso un ángulo de elevación de 37°

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la altura de la pared y de un ángulo de elevación de 37° que conforma la escalera con el piso o la línea de suelo

• Altura de la pared = 10 decímetros
• Ángulo de elevación = 37° (ángulo notable)
• Debemos hallar la longitud de la escalera

Vamos a relacionar estos datos con el seno del ángulo notable

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed{\bold { sen (37)\° = \frac{3}{5} }}$

Planteamos:

$\boxed{\bold { sen (37)\° = \frac{cateto \ opuesto }{hipotenusa} =\frac{AB}{AC} }}$

$\boxed{\bold { sen (37)\° = \frac{altura \ de \ la\ pared }{longitud\ de \ la \ escalera } =\frac{AB}{AC} }}$

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = \frac{altura \ de \ la\ pared } { sen (37)\° } }}$

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = \frac{10\ dm } { sen (37)\° } }}$

Si

$\boxed{\bold { sen (37)\° = \frac{3}{5} }}$

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = \frac{10\ dm } { \frac{3}{5} } }}$

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = 10 \ dm \ . \frac{5}{3} }}$

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = 16,70 \ dm }}$

La escalera tiene una longitud de 16,70 decímetros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La altura de la pared es de 10 decímetros

Y es el lado opuesto al ángulo notable (de elevación) de 37°

Por lo tanto al ser el lado o cateto opuesto al ángulo notable de 37° medirá 3k

Planteamos:

$\boxed{\bold {altura\ de \ la \ pared = 10 \ dm = 3k }}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed{\bold { 3k = 10 \ dm }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 10 \ dm }{3} }}$

$\boxed{\bold { k =3,34 }}$

El valor de la constante k es 3,34

Al ser este un triángulo notable  37°- 53° la hipotenusa -que es la longitud de la escalera - equivale a 5k

Planteamos:

$\boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = 5k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\\ \boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = 5 \ . \ 3,34 }}$

$\\ \boxed{\bold {longitud\ de \ la \ escalera \ (AC) = 16,70 \ dm }}$    

La escalera tiene una longitud de 16,70 decímetros