Question

Calcula las ecuaciones de los lados y las medianas del triángulo cuyos vértices están situados en los puntos A = (- 2, 3), B = (4, 5) y C = (4, - 2).

Answer 1

- Para resolver este problema, primero se sabe que la mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Entonces se cálculo el punto medio de cada lado (PM):

- El punto medio (PM) de un lado esta dado por las sumas de las  coordenadas medias de cada vértice que lo conforman en X y Y. Así, sea el Punto A cuyas coordenadas son (Xa, Ya),  el punto B (Xb, Yb) y C (Xc, Yc). El punto medio del segmento AB, esta dado por la siguiente ecuación:

PM (AB) = [(Xa + Xb)/2 ; (Ya + Yb)/2] (Ec.1)

- El punto medio del segmento BC, será:

PM (BC) = [Xb + Xc)/2 ; (Yb + Yc)/2] (Ec. 2)

- Y el punto medio del segmento AC, será:

PM (AC) = [Xa +Xc)/2 ; (Ya + Yc)/2] (Ec.3)

- Para el enunciado dado sustituyendo los valores en las Ecs 1, 2, 3, se tienen los puntos medios de cada lado:

PM (AB) = [(-2 + 4)/2 , (3 + 5)/2] = [(2/2) , (8/2)]  ⇒ PM (AB) = (1, 4)

PM (BC) = [(4 + 4)/2 , (5 + (-2))/2] = [(8/2) , (3/2)] ⇒ PM (BC) = (4, 1,5)

PM (AC) = (-2+ 4)/2 , (3 + (-2))/2] = [(2/2) , (1/2)] ⇒ PM (AC) = (1,  0,5)

- Uniendo estos puntos medios con cada vértice se consiguen la mediana de cada lado, que es la ecuación de una recta, como se observa en la figura:

- La recta que pasa por el punto A(-2,3), PM(BC) = (4,1,5), esta dada por:

  Y - 3 = m (X - (-2))  

 - La pendiente m, es igual a:

   m = (Ya -Ypm)/ (Xa - Xpm) ⇒ m = (3 - 1,5)/ (-2-4) = 1,5/-6 ⇒ m = -1/4 

- La ecuación de la Mediana A-PM BC, es:
   
         Y - 3 = -1/4 (X + 2) ⇒ Y + 1/4X - 5/2 = 0

- La ecuación de la mediana del vértice B (4,5) al PM (AC) = (1, 0,5), es:
   
 Y - 5 = m (X - 4)

 m = (5-0,5) / (4-1) = 4,5 / 3 = 1,5

- De donde la ecuación de la mediana, es:

  Y - 5 = 1,5 (X - 4) ⇒ Y - 1,5X + 1 = 0

- La ecuación de la mediana desde el vértice C (4, -2) al PM (AB) = (1,4), es igual a:
    
  Y - (-2) = m (X - 4)

- Siendo m = (-2- 4)/(4 -1) = -6/4 ⇒m = - 3/2

- Quedando la Ecuación de la Mediana entre C y PM(AB), es:

 Y + 2 = - 3/2 (X - 4) ⇒ Y +3/2 - 4 = 0

- Ahora, veamos la ecuación de la recta que define los lados del triangulo:

- Lado AB formada por los vértices A (-2,3) y B(4,5), es una recta cuya  pendiente m  es:
   
 m = (5-3)/ (4-(-2) = 2/6 ⇒ m = 1/3

- Y la ecuación que define el lado AB, es

  Y- 3 = 1/3 (X-(-2)) ⇒ Y-3 = 1/3 (X +2) ⇒ Y - 1/3X -11/3 = 0

- La recta que forma el lado BC, cuyos vértices son B (4,5) y C (4, -2) tiene una pendiente m , igual a:

 m = - 2 - 5 / 4 - 4 ⇒ m = 0

- Es una recta paralela al eje Y, X = 4

- La recta que forma el lado AC, tiene una pendiente igual a:

 m = (3- (-2))/(-2-4) ⇒ m = - 5/6

- La ecuación que define este segmento, es:
 
 Y - 3= - 5/6 ( X - (-2)) ⇒ Y + 5/6 X - 4/3 = 0