Calcula las ecuaciones de las tangentes a C1=x²+y²-4x+4y-17=0 que sean perpendiculares a r≡ 3x-4y=14.
Respuestas a la pregunta
Las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocas y opuestas.
De la recta dada: m = 3/4
De las rectas buscadas: m' = - 4/3
La ecuación de la recta perpendicular es y = m' x + b
y = - 4/3 x + b; b es una constante a determinar.
Se intenta la intersección entre la recta y la circunferencia:
x² + (-4/3 x + b)² - 4 x + (-4/3 x + b) - 17 = 0
Quitamos los paréntesis, quedando: (omito los pasos intermedios)
25/9 x² - x [(4/3 (2 b + 7)] + b² + 4 b² - 17 = 0
Para que la recta sea tangente a la circunferencia el discriminante de la ecuación debe ser nulo:
[4/3 (2 b + 7)]² - 4 . 25/9 (b² + 4 b - 17) = 0
Es una ecuación de segundo grado en b. Determinará las ordenadas al origen de las dos rectas tangentes.
Ordenamos la ecuación, quitando paréntesis:
4 b² - 16/3 b - 276 = 0
Resultan b = - 23/3; b = 9
Las rectas tangentes son:
y = - 4/3 x - 23/3
y = - 4/3 x + 9
Se adjunta dibujo de la circunferencia, las dos tangentes y la recta dada.
Mateo
