Question

Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su base mide 3 metros mas que su altura y que su superficie es de 54 m2

Answer 1

Las dimensiones del rectángulo son de 9 metros de base y 6 metros de altura

Procedimiento:

Se pide calcular las dimensiones de un rectángulo donde su base mide 3 metros más que su altura y dónde la superficie es de 54 metros cuadrados

Solución

El área de un rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Siendo el producto de los dos lados contiguos del rectángulo.

Expresamos

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura}}$

Donde

• Altura = x

• Base  = (x + 3)

• Área = 54

Remplazamos en la fórmula para hallar el área de un rectángulo nuestras incógnitas y los datos

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura}}$

$\boxed {\bold { 54 = (x+3)\ . \ x}}$

$\boxed {\bold { (x+3) \ . \ x = 54 }}$

Aplicamos propiedad distributiva

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ .+\ 3x = 54 }}$

Multiplicamos x por x

$\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 3x = 54 }}$

Pasamos 54 al otro lado de la ecuación cambiando su signo

$\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 3x - 54 = 0 }}$

Tenemos una ecuación de segundo grado

Donde a = 1, b = 3 y c = -54

Emplearemos la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones

$\boxed { \bold { \frac{ -b \pm \sqrt{ b^{2} \ - 4ac } }{2a} }}$

Sustituimos los valores  de a = 1, b = 3 y c = -54 en la fórmula para resolver para x

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm \sqrt{ 3^{2} \ - 4\ .\ (1\ . - 54) } }{2\ . \ 1} }}$

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm \sqrt{ 9 \ -\ 4 \ . \ - 54 } }{2} }}$

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm \sqrt{ 9 \ +\ 216 } }{2} }}$

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm \sqrt{ 225 } }{2} }}$

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm \sqrt{ 15^{2} } }{2} }}$

$\boxed { \bold { x= \frac{ -3 \pm 15 }{2} }}$

$\boxed { \bold { x_{1} = 6}}$

$\boxed { \bold { x_{2} = -9}}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones

$\boxed { \bold { x = 6, -9 }}$

Como estamos buscando el valor de una magnitud descartamos la solución negativa para x dado que no existen dimensiones negativas

Luego

$\boxed { \bold { x = 6 }}$

Reemplazamos el valor de x hallado en las incógnitas

Altura = x

Altura = 6 metros

Base  = (x + 3)

Base  = 6 + 3 = 9 metros

Las dimensiones del rectángulo son entonces de 9 metros para su base y de 6 metros para su altura

Verificación

Si

$\boxed {\bold { \'Area \ del \ Rect\'angulo = Base \ . \ Altura}}$

Reemplazamos por los valores hallados

$\boxed {\bold { 54 = 9 \ . \ 6}}$

$\boxed {\bold { 54 = 54}}$

Se cumple la igualdad