Question

Calcula las coordenadas del vértice de las siguientes funciones:

a) y= 3x2 - x + 1 (3X2 = Es 3 equis al cuadrado)
b) y= -10x2 - 5x + 7 (-10x2= Es menos 10 equis al cuadrado)
c) y= 6x2 - 2x + 9 (6x2= Es 6 equis al cuadrado)
d) y= 8x2 +8x - 11 (8x2= Es 8 equis al cuadrado)

Ejemplo de la (C): 6x2-2x+9
Vx= -6/2a
Vx= -(-2)/ 2 x 6 = 2/12 = 1/6
Vy= 6 (1/6)^2 al cuadrado - (1/6) +9
Vy= 6 (1/36) -2 (1/6)+9
Vy= 1/6 - 1/3 + 9
Vy= 0.16 - 0.33 + 9 = 8.83
Respuesta= ( 1/0 , 8.83)

Answer 1

Utilzaré el método de completación de cuadrados para buscar una forma de la expresión del tipo y = A(x-h)^2 + k, en la k el vértice es (h,k).

a) y= 3x^2 - x + 1

Paso 1: Extrae facor común 3 a los dos primeros términos

=> 3 (x^2 - 1/3 x) + 1

Paso 2:  busca el la mitad del coeficiente de x, para escribir el cuadrado perfecto, y resta el cuadrado del segundo término para mantener la igualdad => (1/3) / 2 = 1/6 => (1/6)^ 2 = 1/36

=> 3 [ (x - 1/6)^2 - 1/36] + 1

Paso 3: extrae el término -1/36 de los corchetes

=> 3 (x - 1/6)^2 - 3*1/36 + 1 = 3(x - 1/6)^2 - 3/36 + 1 = 3(x - 1/6)^2 - 1/12 + 1 =

= 3(x - 1/6)^2 + 11/12

De donde, por comparación con A(x-h)^2 + k, el vértice es (1/6, 11/12)

Respuesta: (1/6 , 11/12)

b) y= -10x2 - 5x + 7 (-10x2= Es menos 10 equis al cuadrado)

Paso 1: extrae factor común -10 a los términos que contienen x:

=> -10 (x^2 + 1/2 x) + 7

Paso 2: busca la mitad del coeficiente que acompaña a x: (1/2) / 2 = 1/4, y escribe el cuadrado perfecto restando (1/4)^2 = 1/16

=> - 10 [(x + 1/4)^2 - 1/16] + 7

Paso 3: saca el término -1/16 de los corchetes

=> -10 (x+1/4)^2 + 10/16 + 7 = -10(x +1/4)^2 + 61/8

compara con (x-h)^2 + k => (h,k) = (-1/4, 61/8)

Respuesta: vértice = (-1/4, 61/8)

c) y= 6x2 - 2x + 9 (6x2= Es 6 equis al cuadrado)

siguiendo los mismos pasos descritos en los dos problemas de arriba:

y = 6(x^2 - 1/3x) + 9

y = 6 [ (x - 1/6)^2 - 1/36 ]  + 9

y = 6 (x - 1/6)^2 - 1/6 + 9

y = 6 (x - 1/6)^2 + 53/6 => vértice = (1/6, 53/6)

Respuesta: (1/6, 53/6)

d) y= 8x2 +8x - 11 (8x2= Es 8 equis al cuadrado)

Siguiendo los mismos pasos de los ejercicios de arriba:

y = 8x^2 + 8x - 11

=> y = 8(x^2 + 1) - 11

=> y = 8 [ (x + 1/2)^2 - 1/4] - 11

=> y = 8 (x + 1/2)^2 - 2 - 11

=> y = 8(x +1/2)^2 - 13 => vértice = (-1/2, -13)