Question

Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan
en los triángulos rectángulos de las Figuras 10 a 15.

Answer 1

Respuesta:

a) AB = 6 cm ; BC = 12 cm; AC = 10,39 cm; ∡A = 90°; ∡B = 60°; ∡C = 30°→ Figura 10

b) AB = 13,94 cm ; BC = 9 cm; AC = 10,72 cm; ∡A = 40°; ∡B = 50°; ∡C = 90° = → Figura 11

c) AB = 11 cm; BC = 15,55 cm; AC =  11 cm; ∡A = 90°; ∡B = 45°; ∡C = 45°→ Figura 12

d) AB = 20 cm; BC = 17,32 cm; AC = 10 cm; ∡A = 60°; ∡B =30° ; ∡C = 90°→ Figura 13

e) AB = 80,60 cm; BC = 49 cm; AC = 64 cm; ∡A = 37,44° ; ∡B = 52,56°; ∡C = 90°→ Figura 14

f) AB = 24,22 cm; BC = 16,20 cm; AC = 18 cm; ∡A = 42°; ∡B = 48°; ∡C 90° = → Figura 15

Expectación:

Para todos los casos se debe emplear o la Ley de los Senos o el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de los lados desconocidos.

Se observa que cada uno de los triángulos es Rectángulo, es decir, posee un ángulo de 90° y por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

• Caso a (figura 10):

Se calcula el ángulo faltante:

180° = 90° + 60° + ∡C

∡C = 180° - 90° - 60° = 30°

∡C = 30°

Aplicando la Ley de los Senos.

BC/Sen 90° = AB/Sen 30° = AC/Sen 60°

BC = 12 cm

Calculando la longitud del lado AB.

AB = 12 cm (Sen 30°/Sen 90°) = 12 cm (0,5/1) = 12 cm (0,5) = 6 cm

AB = 6 cm

Calculando la longitud del lado AC.

AC = 12 cm

(Sen 60°/Sen 90°) = 12 cm (0,866/1) = 12 cm (0,866) = 10,392 cm

AC = 10,392 cm

• Caso b (figura 11):

Se calcula el ángulo faltante:

180° = 90° + 40° + ∡B

∡B = 180° - 90° - 40° = 50°

∡B = 50°

Aplicando la Ley de los Senos.

AB/Sen 90° = AC/Sen 50° = BC/Sen 40°

BC = 9 cm

Calculando la longitud del lado AB.

AB = 9 cm (Sen90°/Sen 40°) = 9 cm (1/0,6428) = 9 cm (1,555) = 13,995 cm

AB = 13,995 cm

Calculando la longitud del lado AC.

AC = 13,995 cm (Sen 50°/Sen 90°) =  10,72 cm

AC = 10,72 cm

• Caso C (figura 12):

Se aplica el Teorema de Pitágoras para conocer la hipotenusa (lado BC).

h = BC = √AC²+ AB²

BC = √(11 cm)² + (11 cm)²=√(121 +121) = √(242) = 15,55 cm

BC = 15,55 m

Aplicando la Ley de los Senos.

BC/Sen 90°= 11 cm/Sen ∡B = 11 cm/Sen ∡C

AB = AC

Como los catetos son de igual magnitud, los ángulos también lo

son ∡B = ∡C.

Calculando los ángulos de los lados desconocidos.

Sen ∡B = 11 cm/15,55 cm (Sen 90°) = 11 cm/15,55 cm = 0,707

Sen ∡B = 0,707

∡B = ArcSen 0,707 = 45°

∡B = ∡C = 45°

• Caso d (figura 13):

Se aplica el Teorema de Pitágoras para conocer el cateto faltante (lado BC).

BC = √AB² - AC²

BC= √(20 cm)² - (10 cm)² = √(400 -100) = √(300) = 17,32 cm

BC = 17,32 cm

Aplicando la Ley de los Senos.

20 cm/Sen 90°= 10 cm/Sen ∡B = 22,35 cm/Sen ∡A

Se calcula Sen ∡B.

Sen ∡B = (10 cm/20 cm) Sen 90° = 1/2

Sen ∡B = 1/2

El ángulo se calcula mediante la función AcoSeno.

∡B = ArcSen 1/2 = 30°

∡B = 30°

Ahora para el ángulo faltante:

180° = 90° + ∡A + ∡B

∡A = 180° - 90° - 30° = 60°  

∡A = 60°  

• Caso e (figura 14):

Se aplica el Teorema de Pitágoras para conocer la hipotenusa (lado AB).

h = AB = √AC² + BC²

BC = √(64 cm)² + (49 cm)² =√(4.096 + 2.401) = √(6497) = 80,60 cm

AB = 80,60 cm

Aplicando la Ley de los Senos.

80,60 cm/Sen 90°= 64 cm/Sen ∡B = 49 cm/Sen ∡A

Calculando Sen ∡B.

Sen ∡B = (64 cm/ 80,60 cm) Sen 90° = 0,7940

Sen ∡B = 0,7940

El ángulo se calcula mediante la función AcoSeno.

∡B = ArcSen 0,7940 = 52,56°

∡B = 52,56°

Ahora para el ángulo faltante:

180° = 90° + ∡A + ∡B

∡A = 180° - 90° - 52,56° = 37,44°

∡A = 37,44°  

• Caso f (figura 15):

Se calcula el ángulo faltante:

180° = 90° + 42° + ∡B

∡B = 180° - 90° - 42° = 48°

∡B = 48°

Aplicando la Ley de los Senos.

AB/Sen 90° = 18 cm/Sen 48° = BC/Sen 42°

Se despeja AB.

AB = 18 cm (Sen 90°/Sen 48°) = 24,22 cm

AB = 24,22 cm

Calculando la longitud del lado BC.

BC = 24,22 cm (Sen 42°/Sen 90°) = 16,20 cm

BC = 16,20 cm

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Answer 2

   La medida de los ángulos y los lados que faltan en cada uno de los triángulos es

1.-  

Las medidas y ángulos del triangulo A son.

• Cateto adyacente = 6cm
• Cateto  opuesto = 6√3cm
• hipotenusa = 12cm
• BAC = 90°
• ACB = 30°
• CBA = 60°

Tenemos un triangulo donde los datos del mismo son.

• Hipotenusa = 12cm
• CBA = 60°
• BAC = 90°

Como todo triangulo tiene la suma interna de sus ángulos de 180°

180° - 60° - 90° = ACB = 30°

Con la razón del seno tenemos el cateto opuesto

CO = HSen60°

CO  =6√3cm

Con la razón del coseno tenemos el cateto adyacente

CA = HCos60°

CA  =6cm

2.-  

Las medidas y ángulos del triangulo B son.

• Cateto adyacente = 10.72cm
• Cateto  opuesto = 9cm
• hipotenusa = 14cm
• BAC = 40°
• ACB = 90°
• CBA = 50°

Datos del triangulo:

Cateto opuesto = 9cm

ACB = 90°

BAC = 40°

Calculamos el ángulo CBA

CBA = 180° - 90°  -40°

CBA = 50°

Con la razón del seno tenemos  la hipotenusa

CO = HSen40°

H = CO/Sen40° = 9cm/Sen40°

H  = 14cm

Con la razón del coseno tenemos el cateto adyacente

CA = HCos40°

CA  =10.72cm

3.-  

Las medidas y ángulos del triangulo C son.

• Cateto adyacente = 11cm
• Cateto  opuesto = 11cm
• hipotenusa = 11√2cm
• BAC = 90°
• ACB = 45°
• CBA = 45°

Datos del triangulo:

Cateto opuesto = cateto adyacente = 11cm

BAC = 90°

Teorema de Pitágoras para la hipotenusa

H = √CO² + CA²

H = √(11cm)²+(11cm)²

H = √242

H = 11√2cm

Con la razón del seno tenemos ángulo ACB

CO = HSen(ACB)

11 = 11√2 Sen(ACB)

ACB = Sen⁻¹(11/11√2)

ACB = 45°

180° - 90 - 45 = 45° = CBA

4.-  

Las medidas y ángulos del triangulo D son.

• Cateto adyacente = 10cm
• Cateto  opuesto = 10√3cm
• hipotenusa = 20cm
• BAC = 60°
• ACB = 90°
• CBA = 30°

Datos del triangulo:

Cateto adyacente = 10cm

Hipotenusa = 20cm

ACB = 90°

Hallamos el cateto opuesto con el teorema de Pitágoras

H² = CO² + CA²

CO = √H² - CA²

CO = √(20cm)²-(10cm)²

CO  =10√3cm

Con la razón del coseno tenemos el ángulo BAC

10cm = 20cmCosBAC

BAC = Cos⁻¹(10/20)

BAC = 60°

180° - 90° - 60° = 30° = CBA

5.-  

Las medidas y ángulos del triangulo E son.

• Cateto adyacente = 49cm
• Cateto  opuesto = 64cm
• hipotenusa = 80.6cm
• BAC = 90°
• ACB = 52.56°
• CBA = 37.44°

Datos del triangulo:

BAC = 90°

Cateto adyacente  =49cm

Cateto opuesto  =64cm

Teorema de Pitágoras para la hipotenusa

H = √CO² + CA²

H = √(64cm)²+(49cm)²

H = √6497

H = 80.6cm

Con la razón del seno tenemos ángulo CBA

CO = HSen(CBA)

64 = 80.6 Sen(CBA)

ACB = Sen⁻¹(64/80.6)

ACB = 52.56°

180° - 90 - 52.56 = 37.44° = CBA

6.-  

Las medidas y ángulos del triangulo FA son.

• Cateto adyacente = 18cm
• Cateto  opuesto = 9√5cm
• hipotenusa = 27cm
• BAC = 42°
• ACB = 90°
• CBA = 48°

Datos del triangulo:

Cateto adyacente = 18cm

BAC = 42°

ACB = 90°

CBA = 180° - 90° - 42

CBA = 48°

Razón del coseno

H = CA/Sen42°

H = 18cm/Sen42°

H  = 27cm

CO = √27² - 18²

CO  = 9√5cm

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