Question

Calcula la inversa de cada una de estas matrices

Answer 1

Opción A.

1- Verificamos que su determinante no sea 0. En este caso es 1.

2- Al tratarse de la matriz identidad sabemos que su inversa será ella misma.

$\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$

Opción B.

1- Verificamos que su determinante no sea 0. En este caso es 16.

2- Realizar la forma aumentada con una matriz identidad 3x3.

$=\begin{bmatrix}3&2&1&\mid \:&1&0&0\\ -1&2&-3&\mid \:&0&1&0\\ 3&-4&9&\mid \:&0&0&1\end{bmatrix}$

3- Convertir la matriz en una matriz identidad.

$=\begin{bmatrix}3&2&1&\mid \:&1&0&0\\ 0&-6&8&\mid \:&-1&0&1\\ 0&0&\frac{8}{9}&\mid \:&-\frac{1}{9}&1&\frac{4}{9}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}1&0&0&\mid \:&\frac{3}{8}&-\frac{11}{8}&-\frac{1}{2}\\ 0&1&0&\mid \:&0&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&0&1&\mid \:&-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

La inversa se encuentra en la parte derecha de la matriz aumentada.

$=\begin{pmatrix}\frac{3}{8}&-\frac{11}{8}&-\frac{1}{2}\\ 0&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{8}&\frac{9}{8}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Answer 2

La matriz de la identidad es ella misma la matriz B se calcula por Gauss Jordan la inversa es:

$\left[\begin{array}{ccc}3/8&-11/8&1/2\\0&3/2&1/2\\-1/8&9/8&1/2\end{array}\right]$

La inversa de una matriz Anxn: es una matriz Bnxn tal que A*B = I donde I es la matriz identidad de tamaño nxn

La inversa de la matriz identidad es la matriz identidad.

En el primer ejercicio A es la matriz identidad por lo tanto su inversa es ella misma:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Calculamos la inversa de la matriz B: usando Gauss Jordan con la matriz expandida a la identidad, hasta obtener la matriz identidad en la izquiera:

$\left[\begin{array}{ccccccc}3&2&1&|&1&0&0\\-1&2&-1&|&0&1&0\\3&-4&9&|&0&0&1\end{array}\right]$

F1 = (1/3)*F1

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&2/3&1/3&|&1/3&0&0\\-1&2&-1&|&0&1&0\\3&-4&9&|&0&0&1\end{array}\right]$

F2 = F1 + F2

F3 = -3F1 + F3

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&2/3&1/3&|&1/3&0&0\\0&8/3&-8/3&|&1/3&1&0\\0&-6&8&|&-1&0&1\end{array}\right]$

F2 = (3/8)*F

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&2/3&1/3&|&1/3&0&0\\0&1&-1&|&1/8&3/8&0\\0&-6&8&|&-1&0&1\end{array}\right]$

F1 = (-2/3)*F2 + F1

F3 = 6F2 + F3

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&0&1&|&1/4&-1/4&0\\0&1&-1&|&1/8&3/8&0\\0&0&2&|&-2/8&9/4&1\end{array}\right]$

F3 = (1/2)*F3

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&0&1&|&1/4&-1/4&0\\0&1&-1&|&1/8&3/8&0\\0&0&1&|&-1/8&9/8&1/2\end{array}\right]$

F2 = F3 + F2

F1 = - F3 + F1

$\left[\begin{array}{ccccccc}1&0&0&|&3/8&-11/8&1/2\\0&1&0&|&0&3/2&1/2\\0&0&1&|&-1/8&9/8&1/2\end{array}\right]$

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